DES -PLANS TANGENTS AUX SURFACES COURBES. 2O

la tangente au point (jc, y^ ^)de cette courbe aura pour équations

OU bien

en désignant ici par x\ y', z\ les coordonnées courantes de la droite demandée.

265. Lorsque la courbe dans l'espace sera définie , non par ses projections , mais au moyen de deux surfaces quelconques représentées par

F {x,Xy «) == o , F, [x, 7, z) = o,

il ne sera pas nécessaire de résoudre ces deux équations pour en tirer les valeurs de x et y, et par suite celles des

dérivées — , -^. Car, dans le système des équations simultanées F = o, Fi = o, une seuJe des variables demeurant arbitraire , les deux autres devront varier en même temps que celle-là par la différentiation , ce qui donnera

d¥ ^ dY ^ dF ^

^ Hx-^-dy^-dz^o,

dr^ dx\ mFi

-7— dx H — — - dr H — ; — rfz = o ;

dx dy dz

équations d'où l'on devrait tirer les valeurs de -r- et -r- ^ dz dz

pour les substituer dans (i5) et (i6). Mais si, au contraire , on substitue ici les valeurs de ces dérivées prises dans (i5) et (i6), on obtiendra immédiatement les équa-

tious de la tangente sous la forme trè&'^symétrique

Nous reconnaîtrons tout à l'heure que ces équations sont précisément celles des plans tangents aux surfaces données F = o et Fi = o 5 et dès lors on concevra bien comment le système de ces deux équations détermine la tan» gente de la courbe c[ui est Tintersection de ces surfaces.

266. Dm plan tangent à une surface quelconque. Cette surface étant représentée par une équation unique

(19) ^ =/{^yy)9

il y aura ici deux variables indépendantes, par exemple X ety^ et dès lors la troisième z admettra deux dérivées partielles, que nous représenterons, suivant Tusage, par

— = ^ , -j- = ^. Si , par un point (a:, jr^ z) donné sur

cette surface, on trace une courbe quelconque dont la projection soit désignée par

Tensemble des équations (19) et (20) déterminera complètement cette courbe ^ mais, pour en obtenir une seconde projection , il faudra éliminer y entre les équations précédentes , ce qui donnera un résultat de la forme

(21) z =f\x, <p (j?)] = 4, [xy

Gela posé , la tangente de la courbe dans Tespace étant projetée (n^ 264) sur les tangentes aux deux courbes