DES PLANS TANGBNTS AUX SURFACES COURBES. 2 1 I
jdanes (20) et (21), cette droite aura pour équations
dans lesquelles x\ y\ z\ désignent les coordonnées courantes de cette droite. Or, d'après la manière dont la
fonction ^ a été obtenue , on doit voir que la quantité -j^
n'est autre chose que la dérivée totale de z déduite de Féquation (19) , mais prise en regardant jr comme une fonction de Xy déterminée par la relation (20). Par conséquent on aura
^ df{x,y) ^ df{x,y) ^ ___ dff^
dx dx dy ' dx dx^
et les équations de la tangente deviendront
Maintenant , si Ton veut obtenir le lieu géométrique des tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface , par le point en question , il faut éliminer des équations précédentes , ce qui dépend de la fonction f , laquelle peut seule caractériser la courbe particulière qu'on a considérée. Or, en éliminant -^ entre (22) et (28) , on trouve
(24) z' -^ z zzz p {x' — x) H- ^ (^' — /) ;
équation du premier degré par rapport aux variables x\ y\ je', et qui prouve que le lieu de toutes les tarpgentes est bien un plan^ en général. Cette conséquence ne pourrait être infirmée que dans les points singuliers qui
feraient prendre aux dérivées partielles ^ et ^ la forme
- : comme cela arrive au sommet d'un cône , ou bien eno '
core dans une surface de révolution dont le méridien
coupe Taxe sous un angle oblique , et pour le point de
cette surface qui est sur Taxe même : voyez la Géométrie
descriptwe, n^ 97.
267. Il importe d'observer que l'équation (24) restera de même forme , quand bien même les coordonnées seraient obliques 5 puisque le théorème du n® 264 est également vrai dans ce cas, et que l'équation de la tangente à une courbe plane , doit encore avoir pour coefficient de l'abscisse la dérivée de l'ordonnée.
268. Lorsque l'équation de la surface sera donnée sous la forme
on sait qu'en la différentiant successivement par rapport aux variables indépendantes x et y^ on obtient
dx dz ' dy dz '
si donc on tire de là les valeurs de p eldeg^ pour les substituer dans (24), l'équation du plan tangent prendra la forme plus générale \
ce qui justifie la remarque qui termine le n^ 265.
269. On pourra, comme aux n°'262 et 263, faire servir cette équation à trouver la courbe de contact d'un cône ou d'un cylindre circonscrit à la surface (2$) ; maïs au lieu de revenir sur ces questions, nous ferons observer qu'on peut aussi déduire de là le contour de la pro-
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jection d'une surface sur un plan donné , par exemple sur le plan XY. Cette recherche , qui est indispensable dans plusieurs problèmes de Géométrie , revient à déterminer la courbe de contact d'un- cylindre circonscrit et perpendiculaire au plan XY^ par conséquent, pour tous les points de cette courbe , le plan tangent de la surface sera parallèle à OZ, et dès lors son équation générale
(26) ne devant plus renfermer la variable z' (pP 8), on aura la condition
rfF ^=^'
laquelle, jointe à F (jc, j-, r) = o, déterminera la ligne de contact dans l'espace^ puis, si Ton élimine z entre ces deux équations, on obtiendra la courbe demandée sur le plan XY.
270. La normale dCune surface étant la droite perpendiculaire au plan tangent, et menée par le point de contact (x , j^, z) , elle aura des équations de la forme
x' — jr= a («' — «), y' '- y = b {z' — z);
mais les conditions trouvées n^ 47, poiu* exprimer qu'une droite et un plan sont perpendiculaires , fourniront entre l'équation (24) et les précédentes, les relations
a = — fy b =— q;
de sorte que les équations de la normale deviendront
Les angles a , 6 , y , formés par cette droite avec les demi-axes coordonnés positifs, seront donnés (n^ 27)
2l4 CHAPITRE Xin.
par les formules
COS€=r ^
VjP' -f- y' -f- 1 '
dans lesquelles le radical pris positivement se rapporte toujours (n^ 28) à la portion de la normale <{ui fait un angle aigu avec le demi-axe OZ. Si, d'ailleurs, on substitue ici les expressions de ^ et de ^ (n° 268) en fonction des dérivées partielles de l'équation F (j:,j^, z) = o, les valeurs des cosinus précédents se présenteront sous la forme
, , i dF ^ i d¥ 1 dF
(^9) cosa = --, ces 6 = -—, cos7 = -— ,
où V désigne le radical
v/(sy-(f)'-(2y-
271 . En terminant ce chapitre , nous ferons plusieurs remarques importantes sur la position du plan tangent , relativement à la surface. D'abord , il ne faut pas s'attendre qu'il n'y ait jamais entre eux qu'un seul point de commun ; <cette circonstance , qui n'est point du tout essentielle à la définition du plan tangent {n^ 258), se rencontrera , il est vrai , dans les surfaces connexes en tous leurs points ; mais , dans les autres cas , ce plan pourra couper la surface , et même la couper suivant une courbe qui passe par le point de contact, ce qui ne l'empêchera pas de renfermer les tangentes à toutes les courbes menées par ce point; de sorte qu'en cet endroit il sera véritablement tangent, et sécant partout ailleurs. On en voit de fréquents exemples dans la Géométrie descriptive, et entre
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autres dans les surfaces annulaires, lorsqu'on choisit le point de contact sur la nappe intérieure. '
272. En second lien , toutes les fois que la surface sera réglée^ c'est-à-dire qu'elle admettra une génératrice rec^ tiligney cette droite, qui est elle-même sa propre tangente, devra être contenue tout entière dans le plan tangent-, et s'il existait deux génératrices de ce genre, passant l'une et l'autre par le point donné, elles détermi* neraient, par leur ensemble, le plan tangent relatif à leur point de section •, c'est ce qui arrive dans l'hyperbcK loïde à une nappe , et dans le paraboloïde hyperbolique. Mais il importe beaucoup d'observer que les surfaces ré' glées se divisent en deux classes y qui présentent une différence essentielle dans leur contact avec le plan tangent.
273. Si la surface réglée est gauche, c'est-à-dire si la génératrice rectiligne se meut de telle sorte que deux positions voisines AM et A' M', quelque rapprochées qu'on les suppose , ne se trouvent pas situées dans un même plan, alors les plans tangents relatifs à deux points
M et N pris sur une même génératrice AMN , renferme- Fig. 33. ront tous deux cette droite, mais ils seront distincts l'un de l'autre ; car le premier contiendra la tangente MT à la section quelconque MM'P, et le second la tangente NV à la section NN'Q. Or, comme la droite mobile , en passant de la position AMN à la position infiniment voisine A'M'N', doit nécessairement s'appuyer toujours sur ces courbes qui ont avec leurs tangentes un élément de commun, cette génératrice peut être regardée, dans cet intervalle, comme glissant sur les tangentes MM' T, NN'V; et par conséquent celles-ci ne sauraient être dans un même plan, dès que les droites AMN et A'M'N' ne remplissent pas cette condition ; donc , enfin , le plan AMT ne
2l6 CHM»IT&E XIII.
coïncide point avec le plan ANV. Concluons de là que, dans une surf ace . gauche, les plans tangents relatifs aux dii'ers points d'une même génératrice rectiligne, passent tous par cette droite, inaàs sont distincts les uns des autres^ et chacun ne touche la surface qu'en un point, tandis que partout ailleurs il est sécant. Ces circonstances se présentent, par exemple, dans Thyperboloïde à une nappe et dans le paraboloïde hyperbolique.
274. Au contraire , quand la surface réglée sera déi^eloppable, c'est-à-dire qu'elle sera engendrée par une droite assujettie à se mouvoir de telle sorte que deux positions consécuii\^es soient toujours dans un même plan, alors les plans tangents AMT et ANV coïncideront
Fie. 34. complètement^ car les deux tangentes MT et NT, ayant chacune im élément MM' ou NN' commun avec les courbes MP ou NQ , s'appuieront nécessairement sur les deux génératrices infiniment voisines AMN et A'M'N'. Or, comme celles-ci sont, par hypothèse, dans un méjne plan , les tangentes MT et NV rempliront aussi cette con- .dition, et par suite les plans tangents AMT et ANV se confondront l'un avec l'autre. Ainsi, dans une surface déi^eloppable j c^est un seid et même plan qui touche la surface tout le long de chaque génératrice rectiUgne,
275. Comme les diverses génératrices A, A', A",. . . {fig* 34) sont ici deux à deux dans un même plan, il est évident qu'elles se couperont consécutivement en des points w, m\ m",. . ., qui formeront une courbe à laquelle chacune des génératrices sera tangente , et que l'on nomme arête de rebroussement de la surface développable.
Dans les cylindres, cette arête de rebroussement est tout entière à l'infini ^ et dans les cônes , elle se réduit à un point , qui est le sommet.
