DES PLANS TANGENTS AUX SURFACES COURBES

276. Enfin , puisque les éléments superficiels (*) compris entre A et A', A' et A", . . . sont plans, on pourra faire tourner successivement chacune de ces faces autour de la droite qui lui est commune avec la suivante, et les étendre toutes sur un plan , sans que la surface ait éprouvé de fractures. Elle sera ainsi dé\feloppéej en conservant la même superficie; et la dénomination de surface développable dérive de cette propriété , qui , évidemment , ne saurait appartenir aux surfaces gauches (n^ S73), quoiqu'elles soient aussi réglées. Pour compléter ces notions succinctes, nous renverrons aux livres III et Vn du Trcdté de Géométrie descriptive^

{*) Il faut se garder de donner le nom di'éléments aux génératrices, car toigours les élémouts d^une grandeur doWent être homogènes avec celle-ci ; ainsi les éléments d\ine surface sont d''autres petites surfaces.

ai8 CHAPITRE XIV.

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Génération des Surfaces par le mout^ement d\une ligne assujettie à glisser sur une ou plusieurs directrices.

277. Nous avons déjà rencontre , dans ce qui précède, divers exemples de surfaces engendrées par une droite ou par une courbe, qui, en changeant de position et même de forme, s'appuyait constamment sur une ou plusieurs directrices fixes ; il sera donc facile maintenant de généraliser les considérations qui nous ont servi dans ces cas particuliers, et de les étendre à une génératrice représentée par les équations

1j espèce de cette courbe est déterminée, parce que les fonctionsy*et y*i sont censées connues de forme ^ mais comme elles renferment n constantes arbitraires , ou ^aramètres ^variables a , ê , y , . . . , la position , les dimensions , la courbure de la génératrice changeront , en général , avec les diverses valeurs que Ton attribuera à ces paramètres. Or , si Ton faisait varier ceux-ci d'une manière arbitraire et indépendamment les uns des autres, la ligne mobile parcourrait un lieu solide , qui pourrait même souvent remplir tout Tespace^ car en supposant d'abord que a seul varie , et éliminant cette quantité entre

GiNÉBATION DES SURFACES, CtC. ^îg

(i) et (a), on aurait un résultat

qui conviendrait à toutes les positions de la génératrice correspondantes auic diverses valeur» de a :niais ce résultat lui-même représente une infinité de surfaces aussi rapprochées qu^on voudra les unes des autres , et qui s'obtiendront en faisant varier de zéro à ±00 , d'abord 6, puis 7 ,. . . (*)• Par conséquent, Ton n'obtiendrait ainsi aucune surface déterminée; au lieu que si l'on assujettit la ligne mobile (i) et (2) à s'appuyer constamment sur n — I directrices données, ces conditions établiront entre les n paramétres, n — i relations qui n'en laisseront plus qu W d'arbitraire , et le mouvement de la génératrice sera complètement réj^é.