Soient , en eflet

(^) Par exemple , le cercle représenté par

r " + (« — 6)* = R* — aS X — a = o, donne , par Pélimioation de a, Téquation

qui appartient à une infinité de sphères d'un rayon constant , et dont les centres, «Itués sur l'axe des s, s'obtiennent en faisant variera de zéro à ±00,' donc cette équation convient à tons les points du solide cylindrique qui a pour axe OZ , et pour rayon R. De môme , le cercle mobile

conduit à l'équation

.r«-+-r'-+-«'=6"-hR%

laquelle appartient à tous les pointi de l'espace indéfini qui se trouve en dehors de la sphère du rayon R , et dont le centre est à l'origine des coordonnées.

les équations de la première directrice. Pour exprimer que la ligne mobile a , dans toutes ses positions y un point de commun avec cette directrice , il faut écrire que leurs quatre équations sont satisfaites- par un même système de valeurs attribuées k x^ y^ z\ or cela exige qu'en éliminant ces trois coordonnées entre les équations (i), (2), (3) et (4) 9 Téquation finale j q^i sera de la forme

soit vérifiée par les valeurs qu'on attribuera aux constantes a , S , y, ... : par conséquent , cette équation de condition établit déjà entre les paramètres la dépendance nécessaire pour que la génératrice s'appuie constamment sur la première courbe assignée. Mais chaque nouvelle directrice fournira semblablement une relation entre a , 6, 7? • • • 5 de sorte que pour représenter complètement la génératrice s'appuyant sur les » — i directrices, il faudra prendre le système des n+i équations suivantes:

* (a» ^>7» ) =Oj

Or , comme il n'y reste plus évidemment qu'un seul paramètre, a par exemple, qui puisse recevoir des valeurs arbitraires , il s'ensuit que , pour obtenir le lieu de toutes les positions de la génératrice , on devra éliminer a entre les équations Ci) et (2), après y avoir substitué les valeurs des autres paramètres en fonction de celui-ci ; ce qui revient à dire qu'il faudra généralement éliminer les n constantes a , ê , y , . . . entre les w + 1 équations précédentes.

GÉNÉRATION DES SURFACES, etC. 2^1

D^ ailleurs, comme le résultat de cette élimination sera une équation unique où il n^entrera plus aucune arbitraire, il en résulte que la courbe mobile aura bien décrit, dans son mouvement, une surface déterminée.

â79. Dans le cas assez fréquent où Ton n'assigne qaune seule directrice,

F(a:,7,«) = 0, F, (jr,j^, «)=o,

et où par conséquent la ligne mobile ne doit renfermer que deux paramètres arbitraires, cette génératrice sera représentée, dans une position quelconque, par le système

/ i^yf^ 2, a, 6) = O, fx(xyyy z, a, 6) = o,

^ (a , 6) = o , ou bien ê = y (a).

De sorte que si l'on résout les équations /= o , yi==o, par rapport aux constantes , il s'agira d'éliminer a et S entre trois équations de la forme

ce qui donnera pour l'équation de la surface

(6) V z=z f^ (tt) , ou bien * (w , f) = o.

Remarquons ici que m et f^ désignent deux groupes en x^ y^ z , qui ne cbangeront jamais pour toutes les surfaces d'une même yamiZ/e, c'est-à-dire pour celles qui, a3mettant la même génératrice [/*, f^ , ne difiërent l'une de l'autre que par l'espèce de la directrice [F, Fj; tandis que la fonction q>, qui dépend évidemment de F et de Fj, changera avec chacune des surfaces individuelles de cette famille. Ces distinctions vont s'éclaircir par les exemples suivants.