Surfaces cylindriques. Elles sont engendrées

222 CHAPITEK XIV.

par une droite mobile qui reste parallèle à une direction donnée, eu glissant sur une directrice fixe

par conséquent , la génératrice aura des équations de la forme

dans lesquelles m et n seront des constantes données et invariables , tandis que a et 6 seront les paramètres arbitraires 5 mais ceux-ci seront liés entre eux par une relation 6 = (p (a), qui, dans chaque exemple, se déduira, comme nous Pavons dit , des quatre équations précédentes par Téliminationdes coordonnées. Ainsi les équations (5) deviendront alors

et en éliminant a et 6 entre ces trois dernières , la surface cylindrique sera représentée généralement par

(7) X —- nz= ff{x— mz).

On voit qu'ici les quantités u ex. i^ sont les binômes X — mz et j^ — nz ^ qui resteront de même forme pour tous les cylindres pO;Ssibles , tandis que la fonction f changera avec la directrice particulière qu'on aura adoptée.

281 . Appliquons cette méthode au cylindre qui aurait pour directrice Tellipse

Pour exprimer que la génératrice

X = mz -f-a, ^ = «z-f-6 A toujours un point de commun avec cette courbe , on

GÉN:éRAT10ir DXS SURTAGISS, CtC. 223

élimine x^ y^ z entre ces quatre équations, et Ton obtient la relation

laquelle tient lieu de 6 = ^ (a) \ puis , sans la résoudre par rapport à 6, on élimine a et ê entre les trois dernières équations , et il vient pour le cylindre demandé

282. L'équation des cylindres, sous la formé (7), est dite V équation en quantités finies ; mais on peut en obtenir une autre qui soit même indépendante de la directrice, ou de la fonction 9 qui seule caractérise cette courbe dans chaque cas particulier. Pour y arriver, j'observe que Téquation

(7) jr — rtz = (p (a: — mz) ,

renfermant deux variables indépendantes^ x et y, peut être différentiée successivement par rapport à jr et ^ , ou

par rapport à j* et ^ ^ donc , en désignant toujours —

et — par p et q^ et par y ' la dérivée de la fonction (f ,

on obtiendra

— np = (i — mp).<f^ (x — /wz), I — nq rz: — mg . ç' (jc — mz).

Or, entre les trois équations précédentes , on peut éliminer (f et (p' qui seules varient pour diverses surfaces cylindriques ; et même , comme les deux dernières ne contiennent que 9', si on les divise TuBe par Tautre, on aura

np I — mp

i "— nq mg '

d'où l'on tire

(8) mp -{- nq = i,

équation aux différences partielles qui convient à toutes les surfaces cylindriques , quelle qu'en soit la directrice. 283. On aurait pu obtenir directement l'équation (8) en exprimant que dans ces surfaces , les divers plans tang^ntSj dont chacun renferme (n*^ 272) une génératrice du cylindre, sont tous parallèles à la droite

En effet, si l'on applique à l'équation générale du plan tangent pour une surface quelconque ,

la condition trouvée au n® 45 , on obtient pour le caractère général de tous les cylindres ,

mp -^ nq — i = o ,

relation identique avec l'équation (8).

284f. L'équation (8) peut servir plus commodément que la formule (7) , à reconnaître si une surface donnée L= o est cylindrique ou non. Pour cela , on tire des équations

les valeurs des dérivées p et q^ pour les substituer dans (8), et il faut évidemment que le résultat

soit vérifié pour tous les points de la surface L , c'est-àdire quelles que soient les valeurs de Xj jr^ z\ mais conmie on ne connaît pas à priori les quantités m et /i ,

dl.

GÉNÉRATION DES SURFACES, etC 225

on égalera à zéro les coefficients des* diverses puissances des coordonnées, et Ton examinera si l'on peut satisfaire à ces conditions par des valeurs réelles de m et de w.

Admettons , par exemple , que L = o soit Féquatîon générale des surfaces du second degré ; alors l'équation (9) deviendra

et comme ce résultat doit être vérifié pour toutes les valeurs de j: , j^, ^ , il faudra poser

Cm -h Cn -h C" = o :

de sorte qu'en calculant m et n par les deux premières de ces équations, et les substituant dans les autres, on aura , pour exprimer que la surface du second degré est cylindrique , les deux conditions

AB* + A'B'» 4- A''B"* — AA'A" — aBB'B" = o ,

C (A' B' — BB") 4- C (AB — B'B") -h C" (B"^ — AA') = o ,

qui conviennent effectivement aux trois genres de surfaces dont nous avons parlé dans les n°* 245, 246 et 247. 285. Quelquefois on n'asâigne pas immédiatement la courbe directrice d'un cylindre , mais on exige qu*il soit circonscrit à une surface donnée L = o ^ alors il faut commencer par chercher la ligne de contact de ces deux surfaces. Or, pour tous les points de cette ligne, les plans tangents seront communs^ et par suite les dérivées p et y, qui seules déterminent l'inclinaison du plan tangent, devront avoir les mêmes valeurs dans le cylindre et dans

la surface L. Par conséquent, si des équations rfL dL dh dL

dx dz dy dz

^P = ^y T^H- TT 7 = o»

OU tire les valeurs de ^ , ^ , pour les substituer dans Téquation (8) , cette dernière devra être satisfaite , et l'on aura, comme ci-dessus,

, . dh dLi dLi

(9) '"ÂT-^/'-^^^^"-

Mais ici cette relation n'est plus vraie pour des valeurs quelconques de x^ y^ z-^ elle ne subsiste que pour les points de la ligne de contact cherchée , et c'est seulement l'équation d'une surface qui contient cette courbe. Or, comme la surface proposée la contient aussi , il s'ensuit que l'ensemble des équations (9) et L = o, détermine complètement la ligne de contact , qui devient alors la directrice représentée au n^ 280 par F =0 et Fj =0; ensuite le reste du calcul s'achèvera comme dans cet article.

286. Cherchons, par exemple, le cylindre qui serait circonscrit à l' ellipsoïde

Aa?^ -4- A'/2 H- M'z" = I ,

et dont les génératrices auraient toujours une direction marquée par les constantes données m et n, La courbe de contact sera déterminée par l'équation précédente , jointe à l'équation (9) qui devient ici

Amx -\- A'ny -\- A."z = o ,

et ce résultat s'accorde avec ce que nous avons trouvé n** 263. Cela posé, en combinant ces équations avec

X z= mz -{- a y y = nz -^^ y

CÉlfSRATION DES SURFACES, CtC. 227

pour éliminer x, y^ z, on obti^dra la relation qui doit exister entre a et 6 , savoir,

(Aa» -+- A'6» — i) (Aot* 4- A'/î» -f- Â" ) = (Aiwa -f- A'/ï6)» ;

puis il reste à substituer ici les valeurs de a et 6 tirées des équations de la droite, ce qui donne pour Téquation du cylindre

\k(x — mzy-h A'(y'^nzy — i] (Am^ -h A'/i^ -h A") = [Am (x — mz) + A'n [j- — ^^Jf'

Mais, parmi les diverses réductions que peut subir ce résultat, nous adopterons la transformation suivante : si au second membre >on ajoute la quantité A*'z — A"^, il deviendra

[(Amx -h A'nx -h A'^z) — (Am' -h A'/i* -h A*') z]\

Or, en développant le carré de ce binôme, puis transposant les deux derniers termes dans le premier membre de Téquation du cylindre , celle-ci prendra , après quelques réductions évidentes, la forme remarquable

[Ajc" 4- Ay -h AV — i) (Am» 4- A'/i» -h A'^) = (Amx 4- A V -h A''z)%

par laquelle on voit manifestement que ce cylindre touche l'ellipsoïde le long de la courbe située dans le plan

Amx ■+■ A'ny -h A"z = o.

D'ailleurs, si l'on désigne par R le demi-diamètre de l'ellipsoïde, qui serait parallèle aux génératrices du cylindre, sa longueur s'obtiendra évidemment en combinant les

équations

R* = j?» -f. j' -f- z% x = mzy jr=nz

avec celle de l'ellipsoïde ; ce qui conduit à

Am* -f- A'/i» -f- A"'

228 CHAPITllE XIV.

On pourra donc inlrod\jire ce rayon vecteur dans Téqua'tion du cylindre; et même si, pour plus de symétrie, on appelle X , fx, v , les angles qu'il fait avec les axes , on aura,

comme on sait,

CCS X ces fi

cos V ces V

et Téquation du cylindre deviendra enfin

Ax» H- A>» -^ A"** — I = R* (A* C08 X -h A'r cob fx 4- A"* cos v)\

287. Surfaces coniques. Elles sont produites par le mouvement d'ufle droite qui , passant toujours par un point fixe (a , & , c) , s'appuie constamment sur une directrice donnée

F(*>r» ^) = o, F, (a?, fy z) = o.

Par conséquent, la génératrice sera représentée ici par

mais il faudra (n** 278) y joindre une relation 6 = y (a), qui, dans chaque exemple particulier, s'obtiendra par Félimination des coordonnées a:, y^ z entre les quatre équations précédentes , et alors les trois équations (5) de viendront

de sorte qu'en éliminant a et 6 entre ces dernières , l'équation générale des surfaces coniques sera

Lorsque le sommet sera situé à l'origine des coordonnées,

GÉNÉRATION DES SURFACES, etC. 22Q

cette équation se réduira à

ce qui revient à dire que de« trois quotients -, -, -,

deux quelconques sont fonction l'un de Tautre ; et par conséquent Téquation sera homogène.

288, Prenons pour exemple un cône dont le sommet aurait pour coordonnées a^b ^ c ^ et dont la directrice serait l'ellipse

En éliminant x^ y^ z entre ces équations et celles de la génératrice

X — a = a (z — c) , y — 6 = 6 (z — c) , on aura la relation qui doit exister entre ûc et € , savoir^,

puis éliminant a et 6 entre les trois dernières équations, il viendra pour l'équation de la surface conique,

On pourrait en déduire le cylindre trouvé n° 281 , en divisant les deux membres par c*, puis posant

— zzi m^ — = /i et c:— ^00.