Si la surface L = o est un ellipsoïde représenté .par

kx" -hAy -f- A'V = I,

la courbe de contact sera déterminée par cette équation jointe à la suivante

(12) Aa?(j? — ^) + ^'y{y — ^) -h A!'z[z — c) = o ; mais celle-ci , combinée avec la première , donne

(i 3) kax -h Mby + M'cz = i ,

ainsi nous pouvons employer (12) et (i3) pour définir la ligne de contact.

Cela posé, il faut exprimer que la génératrice a toujours un point de commun avec cette courbe , en éliminant x^ y^ z entre les équations (12), (i3) et les suivantes

X — a = a,(z — c) , jr — b = ^(z — c) :

or, si Ton substitue d^abord les valeurs des seuls binômes X — a et j — b dans (12), cette équation deviendra

(i4) AoLX -+- A'êjr -h A"« = o ;

et alors Télimination de x^ j^ z entre (i3), (i4) et les équations de la droite s'effectuera aisément, et donnera la condition

(Aa» -I- A'ê» -f- A") (Aa« + A'6» -H A"c> - 1 ) = (Aaa -4- A'fcê H- A'c)*.

Il reste m^aintenant à substituer ici les valeurs de a et S , tirées des équations de la génératrice , ce qui donne pour la surface conique demandée ,

[A(^— «)=» -h A'(/— ô)* + A"(3--e')](Aa='-h A'^* -l-AV— i)

mais si l'on observe que le second membre peut s'écrire

\[kax -f- Mhy -+- M'cz — i) — (Aa» + k!¥ -h AV — i)]% puis, si Ton développe le carré de ce binôme , et que l'on

' GÉNÉRATION DES SURFACES, CtC. 233

transpose les deux derniers termes dans le premier membre, Féquàtion du cône deviendra , après quelques réductions évidentes ,

(A^-^ -h Ay -f- M'z" — i) (Aa' + Mh^ 4- A"c' — i ) ~ {Kax H- Mby -4- A'Vz •— i)».

Sous cette forme, on voit manifestement que le cône touche l'ellipsoïde le long de la courbe plane représentée par l'équation (i3). D'ailleurs, en appelant S la longueur de la droite qui joint le centre de l'ellipsoïde avec le sommet du cône , et R la portion de cette ligne qui forme un demi-diamètre de l'ellipsoïde , on trouvera aisément que le coefficient constant du premier membre a pour valeur

ga j^a

Aa' + Mb^ -f. M'e^ — i = — ^-— .

294f. Surfaces de révolution. On les définit ordinal^ Fio. 35. rement commç produites par le mouvement d'une courbe MM', qui tourne autour d'un axe fixe AC , de telle sorte que chaque point M décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe , et dont le centre est sur cet axe : cette génératrice MM' ne coïncide avec le méridien de la surface , qu'autant qu'elle est tout entière située dans un plan passant par AC. Mais, d'après cette définition, les surfaces de cette classe n'admettraient point une génératrice d'une espèce constante, puisque la courbe MM' changera avec chaque surface individuelle ; au lieu que si Fon regarde la surface comme engendrée par un cercle CM, dont le centre se meut sur AC, tandis que son plan reste perpendiculaire à cet axe, et dont le rayon croît ou décroît de manière que la circonférence rencontre toujours la courbe MM', alors Te cercle mobile devient une génératrice d'une espèce constante et commune

à toutes les surfaces de révolution , et la ligne MM' n'est plus qu'une directrice variable qui distingue chaque surface particulière. Exprimons donc par l'analyse ce second mode de génération , qui d'ailleurs est une suite nécessaire de la définition primitive.