Représentons la directrice MM' par
F (^> r» 2) -"= Of F, (x, y, z) = o,
et l'axe de révolution que nous supposons mené d'un certain point (a , £ , c) dans une direction connue , par
alors un quelconque des parallèles de la surface pourra être regardé comme l'intersection d'un plan perpendiculaire à l'axe AC, avec une sphère' dont le centre serait sur cette droite 5 par conséquent ce cercle aura des équations de la forme
( 1 5) mx H- 72;^ -+- z = 6 ,
(16) {x — af H- {y ^ by -f- (z — c)> = a.
Cependant , pour qu'il soît véritablement un parallèle de la surface, il faut y ajouter une relation
propre à exprimer que ce cercle a , dans toutes ses positions , un point de commun avec la directrice MM' 5 et cette relation s'obtiendra , dans chaque exemple , en éliminant x^y^ z, entre les quatre équations (i5), (16), F = o et Fi = o. Cela posé , il restera à éliminer a et 6 entre les trois équations de ce parallèle , et l'on obtiendra pour la surface de révolution ,
(17) z -^ mx -^ nyz= t^ {{x — àf -h (r •— ^Y -h (z — cf].
GÉNÉRATION DES SURFACES, CtC. 235
296. Lorsque l'axe de révolution est pris pour l'axe des z,ouam = o, n = 0] et comme alors on peut placer le centre (a, i , c) de la sphère à l'origine même , l'équation précédente se réduit à
laquelle pourra toujours être ramenée à la forme
Mais y dans ce cas particulier qui arrive fréquemment , il est plus simple de regarder immédiatement chaque parallèle comme l'intersection d'un cylindre droit avec un plan perpendiculaire, c'est-à-dire de prendre, au lieu des équations (i5) et (i6), les suivantes
et en y joignant toujours la relation S = o (a), qui s'obtiendra comme ci-dessus , on arrivera directement à
297. Prenons pour exemple la surface décrite autour de l'axe OZ, par la droite quelconque
A' = Az H- A , ^ = Bz -f- /• .
Ces équations , qui remplacent ici F = o , Fi = o , étant combinées avec celles d'un parallèle
donneront , par l'élimination des coordonnées , la relation,
et si entre les trois dernières équations , on élimine ce et 6, on trouvera pour la surface demandée
(Âz + A)' -H ( B« -+• ^y = x^ -h x\
2^6 CHAPITRE Xiy.
OU bien
x^-h X^ — (A' -4- B»)z» — 2(AÂ -h B*)z = A» H- it%
résultat qui appartient évidemment à un hyperboloïde à une nappe, dont le centre situé sur Taxe OZ , est facile à déterminer. Au surplus, si Ton conçoit qu'on ait pris pour axe des x la plus courte distance de Taxe de révolution à la droite mobile , celle-ci se trouvera parallèle au plan YZ , et il faudra poser dans ses équations A = o , A == o ; de sorte que l'équation de la surface devenant
se trouvera rapportée à son centre. D'ailleurs on voit que le méridien de la surface est effectivement une hyperbole
dont le demi-axe réel est la quantité h qui mesure ici la plus courte distance des trois droites données. (Voyez Géométrie descriptwe, n*' 140.)
208, Nous ne nous arrêterons point à appliquer cette méthode à un méridien elliptique, tel que
OU à une hyperbole , une parabole \ car on retrouverait ainsi l'ellipsoïde , l'hyperboloïde.... de révolution : mais nous considérerons plutôt la surface annulaire produite par un cercle tournant autour d'un axe OZ qui, sans passer par le centre , est néanmoins situé dans le plan de ce cercle : c'est le tore » qui se rencontre dans plusieurs épures de Géométrie descriptive. Représentons donc ce méridien circulaire par
jr = o, (a: — l)' + 3^ = R%
GÉNÉRATION DES SURFACES, etC. ^37
puis, combinons ces équations avec celles d'un parallèle
pour éliminer x^ Ji ^^ 6t nous obtiendrons la relation
ensuite , éliminons a et 6 entre les trois dernières équations, et nous aurons pour la surface annulaire proposée
(/ ±: six" -h y^y 4- i' = RV
Cette équation qui, après la disparition des radicaux, se trouvera du quatrième degré, mais qui peut être discutée aisément sous la forme actuelle , présentera un noyau vide autour de Taxe des z , ou bien une espèce d'entonnoir formé par la nappe intérieure, suivant que Ton aura
