R DU /<R

299. Cherchons maintenant Véquation aux différences partielles des surfaces de révolution, en éliminant la fonction (f de Téquation

(17) z-\- mx '\- ny = ^[[x^ àf -h {y ^ by -^[z-^cf].

Or, si l'on différentie successivement par rapport à x et ^, et par rapport à j^ et z, on obtient

puis, en divisant ces dernières équations membre à

238 CHAMTRK XIV.

membre, il vient

d'où Ton tire

(i8) pS^y — h — n{z — c)] -— ^ [j: — <i — m (5 — c)] = n (x— a)— m{y — h).

300. Si Taxe de révolution coïncide avec OZ, nous avons déjà dit (n° 296) que Ton devait annuler w, /i, û, J, c\ de sorte que Téquation précédente se réduit à

py — qxz=iQ\

c'est ce qu'on trouverait immédiatement en diflFérentiant comme ci-dessus la dernière équation du n° 296.

301 . On pouvait arriver à ces deux résultats en exprimant que dans cette classe de surfaces , la normale va toujours rencontrer Vaxe de révolution. ,Pour justifier cette dernière assertion , il suffit d'observer que , quel que soit le méridien, le plan tangent dans un point quelconque renferme nécessairement la tangente au parallèle. Or, cette droite étant évidemment perpendiculaire au rayon du parallèle et à l'axe , qui sont tous deux dans le plan méridien , se trouve donc perpendiculaire à ce plan ; d'où l'on conclut que , dans toute surface de révolution , le plan tangent est perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact. Il en résulte -que la normale sera contenue dans ce plan méridien j et, par suite, elle ira rencontrer l'axe de la surface.

Cela posé , la normale à une surface quelconque étant représentée (n° 270) par

il faudra, pour qu'elle aille rencontrer l'axe des z que nous supposons l'axe de révolution, que les équations

' GÉNÉRATION DES SURFACES, etC. 23q

précédeutes fournissent une même valeur de z' quand on y posera x' = o et ^' = o; or, en égalant les deux valeurs de z ' données par cette hypothèse , on trouve

-=-, OU /?/ — ^^r=0, P 1

résultat identique avec Téquation citée au n° 300. On parviendrait semblablement à Téquation (i8) , en combinant les équations de la normale avec les suivantes

x' — a-=zm[z' — c), y' — bz=n{z' — c),

qui ont servi (n° 295) à représenter l'axe de révolution dans une position quelconque.

302. L'équation (i 8) aux différences partielles, peut servir à reconnaître si une surface donnée L = o est de révolution-, car les valeurs des dérivées petq^ tirées de

dL dh dL dh

d^-^-dl^^""^ 57"^^^ = ^'

devront vérifier l'équation (i8), quelles que soient les coordonnées x^ y^ z\ par conséquent, il faudra, après cette substitution , égaler à zéro les coefficients des diverses puissances de ces coordonnées , ce qui fournira entre les constantes inconnues m , ti , <3 , 2» , c un certain nombre d'équations, qui devront s'accorder pour que la surface soit de révolution. Cette marche, appliquée à l'équation générale du second degré , ferait retomber sur les conditions que nous avons obtenues autrement dans les n^** 253 et suivants.

303. Lorsqu'au lieu de donner immédiatement la génératrice d'une surface de révolution, c'est-à-dire la courbe M M' qui est véritablement la directrice du cercle mobile, on exige que la surface cherchée soit circonscrite

24o CHAPITAE XIV.

à une surface connue L^so, il faut encore commencer par déterminer la ligne de contact. Or , en chaque point de cette courbe , le plan tangent sera évidemment commun aux deux surfaces ; ainsi les dérivées pet q, déduites de L = o, et substituées dans Téquation (i8), devront la vérifier, du moins pour tous les points de cette courbe^ donc, après cette substitution, Fensemble des équations (i8) et L = o représentera complètement la ligne de contact , et en la prenant pour la directrice de la surface de révolution , on en fera le même usage que des équations F=o,Fi==:o, dun«265.

Effectuons les calculs pour le cas où Taxe de révolution coïncide avec OZ, et où par conséquent Téquation (i8) se réduit à

pX — qx=:0:

en y substituant les valeurs de ^ et de ^ , tirées de L = o qui donne

dL dla dh dL

on obtiendra pour les équations de la ligne de contact

dL dL

304. Par exemple , dans un ellipsoïde dont les diamètres principaux seraient parallèles aux axes coordonnés, la courbe de contact serait représentée par le système

A(x — il)2-f-A'(^— ^)'-f- A"(2— c)» =r I, (A — A') arj^ — Aajr -f- A^bx = o.

Cette ligne serait donc ici à double courbure ^ mais si A = A', Tellipsoïde devient lui-même de révolution , et la

GÉNÉRATION DES SURFACES, CtC. 24 1

dernière équation se réduisant à

elle représente un plan passant par Taxe OZ et le diamè* tre vertical de Tellipsoïde: par conséquent, la ligne de contact ne sera autre chose qu'un des méridiens de cet ellipsoïde, et en tournant autour de OZ, elle engendrera une surface annulaire différente de celle du n^ 298.

Si l'on veut achever le calcul , on combinera les équations de ce méridien elliptique

A(x — fl)^ -I- A(r — by -H A." (2— <?)* =1, r = ^ *,

avec celles d'un parallèle

pour en éliminer j: , y, ^ , et l'on trouvera entre a et o la relation

A(v/â— D)»-hA''(6 — c)»= I,

dans laquelle nous avons posé D = y^a* -f- A* \ puis , en y substituant les valeurs de a et S, il viendra pour l'équation de cette surface annulaire à méndien elliptique

30o. StjRFACEs coNoïDEs. On appelle ainsi les surfaces engendrées par une droite mobile assujettie à rester parallèle à un plan donné, et à s^ appuyer constamment sur UNE DROiTE^a:e OA et sur une courbe quelconque DM. Fig. 36. Nous prendrons toujours le plan directeur pour le plan coordonné XY, et en coupant les deux directrices par divers plans horizontaux , puis joignant par des droites les points de section correspondants C et M, G et M',.">

on obtiendra autant de posiûons de la génératrice. La surface sera nécessairement gauche {pP 273); car la droite CM, en passant à une position infiniment voisine CM', peut être censée glisser sur la tangente TMM'. Ainsi , pour que CM et CM' fiostent dans un même jdan, il faudrait que TM et OA se trouvaseeat aussi dans un seul plan, circonstance qtii ne saurait arriver, du moins pour toutes les tangentes, sans que la courbe DM ne soit tout entière dans un même plan avec OA^ mais c^est là une hypothèse qu'il faut évidemment exclure , puisque alors le conoïde se réduirait à un plan unique.

306. Comme la droite OA rencontrera nécessairement le plan directeur XY, nous pouvons placer Torigine des coordonnées à ce point de section (au surplus , pour une origine quelcontjue , on changera dans le résultat définitif, x et ^ en X — A et jr — i); et les deux directrices données seront représentées par les équations suivantes :

(OA) x=zmzy jr:=nzy

(DM) F(jr, /,z) — o, F,(^, ^, «)=:o.

La génératrice, qui doit être parallèle au plan XY, aura des équations de la forme

« = 6, j = ax -f- 7 ;

mais d'abord il faut y ajouter une condition qui exprime qu*elle rencontre toujours OA, et qui s'obtiendra en éliminant x^y^ z^ entre les quatre équations de ces deux droites, ce qui donne

Cette relation détermine déjà une des trois constantes arbitraires, y par exemple, en fonction des autres^ et si Ton en profite pour éliminer immédiatement ce para-

GÉNiAATIOir DBS SUSVAGSS, etC. ^4^

mètre, les équations de la génératrice deviendront

(CM) z = 6, y — «6=:=a(j? — /w6).

Ensuite , il faut exprimer que cette dernière droite s'appuie constamment sur DM, ce qui s'exécutera en éliminant x^ y^ z, entre Igs deux dernières équations et celles de DM ; et Ton obti wdra ainsi une nouvelle relation

qu'il faudra joindre aux équations de CM. Maintenant, il ne reste plus qu'un seul paramètre a qui puisse recevoir des valeurs arbitraires \ si donc on élimine a et ê entre ces trois dernières équations, il viendr/SL pour la surface conoïde

307. Le conoïde est appelé droite lorsque la directrice rectîligne OA se trouve perpendiculaire au plan directeur assigné; alors cette droite OA peut être nommée Taxe du conoïde, et puisqu'elle coïncide avec OZ, il suffira de poser m = o et n = o dans l'équation générale (19). Mais comme ce cas particulier se présente fré^ quemment, nous observerons qu'il est plus simple alors de prendre immédiatement les équations de la génératrice sous la forme

parce qu'ainsi on exprime déjà qu'elle rencontre l'axe OZ du conoïde ; il reste donc à écrire qu'elle rencontre amsi la seconde directrice DM, ce qui donnera, comme cidessus , une certaine relation

puis, en éliminant a et 6 entre ces trois é({uatious, on aura pour le conoïde droit

On doit même remarquer que le conoïde oblique pourrait aussi être présenté sous cette Corme, en prenant la directrice rectiligne OA pour Taxe des z , et traçant à volonté les deux autres axes OX, OY, dans le plan directeur-, car pour de tels axes obliques ^ les équations de la génératrice seraient encore

308. Prenons pour exemple le conoïde de la ^voûte d* arête en tour ronde ^ engendré par une horizontale Fie. 3;. qui s'appuie sur OZ et sur une ellipse BCD dont le centre est sur OX^ et dont les deux diamètres principaux sont parallèles aux axes OY, OZ. En posant 0A= /, AB*= t, AC = c, les équations de 1 ellipse seront

en les combinant avec

pour éliminera:, y, z^ on obtient la relation

puis éliminant a et 6 entre les trois dernières équations, il vient

Lorsque Ton coi^pera cette surface par divers plans pa-

GENERATION DES SUAFAGES, CtC. ^45

rallèles à YZ , tels cjue x = k, on obtiendra évidemment des ellipses ayant toutes un axe vertical de grandeur constante , et qui deviendront des cercles quand on po-

sera j:=±: j-. Si l'on choisit les plans sécants parallèles

à XZ, on trouvera des courbes du quatrième degré, faciles à discuter, et qui admettent deux asymptotes parallèles à OX.

309. Dans la voûte d'arête en tour ronde , on adopte souvent pour le cintre de la porte (*) , la ligne à double courbure formée en roulant sur le cylindre vertical du rayon AO = /, le plan d© l'ellipse BCD, sans altérer la hauteur des divers points de cette courbe. Alors, si l'on compare deux points (x, jr^ jk), (x\ Jf'-i^')^ situés à la même hauteur sur l'ellipse et sur le cintre à double courbure , on aura évidemment

attendu que nous comptons les sinus dans le cercle qui a pour rayon l'unité Qvoyez n*^ 310). Par conséquent, en éliminant l'ancienne coordonnée jr^ les équations du cintre seront

si donc on les combine, en supprimant les accents, avec

2 = 6, yzzzax^

OU obtiendra la relation

(*) y oyez la Géométrie descriptive, n® 644 , où nous avons donné aussi les équations des courbes remarquables suivant lesquelles ce conolde traverse le tore qui recouvre le berceau tournant.

^46 CHAPITRE XIT.

et enfin, réliminatiou de a et ê entre les trois dernières, donnera pcmr réquation du conoïde ,

Les sections faites dans celte surface , p^,r des cylindres concentriques avec OZ, seraient encore des ellipses enroulées sur ces cylindres , comme on le verra aisément en posant

310. Dans Tescalier dit vis à jour^ lorsque le noyau vide est circulaire^ la surface inférieure est encore un * conoïde engendré par une droite horizontale qui s^ appuie consttimment sur une hélice et sur Vaxe vertical du cy^ lindre droit où est tracée cette courbe. Or, diaprés la définition d'une hélice (*) , les ordonnées verticales sont proportionnelles aux abscisses cun^ilignes comptées sur la base du cylindre , à partir du point où Fhélice coupe cette base; si donc on fi^it passer Taxe OY par ce point, qu'on adopte pour OZ l'axe du cylindre , et que l'on désigne par s l'arc de la base qui répond à un point quelconque (Xf y y z) de l'hélice , on aura les relations

parce qu'eu appelant h le pas de l'hélice, l'ordon-r née z = h doit correspondre à l'abscisse s = aTrR. Mais ici 5 et siN 5 désignent un arc et un sinus comptés dans le cercle du rayon R; pcfur les ramener, suivant l'usage, à

(*) Xojret^at. GéQméi rie descriptive , a9 446; et Tépure i2(), qui repré sente Vhélicoïde gauche dont il s'agit ici.

GÉNÉRATION DBS SURTAGBS , etC. 2^']

être mesurés dans le cercle dont le rayon égalerait Tunitë, on observera qu'en appelant un arc compté dans ce dernier oefcle , et semblaUe à ^ , on aurait

s s = RO, siN 5 = R sin 9 = R sin ~;

de sorte que les trois équations primitives deviendront

x^ -+- Y= R', X =: R sm — , - = — ;

^^ ' R' s 27rR '

et si , entre ces dernières , on élimine Tare s de la base, ou. aura pour représenter les trois projections de Thélice ,

x»-^j> = R% x = Rsinf-^j, j = Rcos(— j.

De ces équations, deux suffisent toujours*, ainsi , en adoptant les premières, et les combinant avec celles de la

droite mobile

2 = 6, / = aor,

nous obtiendrons la relation

puis éliminant a et S entre ces trois dernières équations,, il viendra, pour la suiface de rhélicoïde gauche,

Observons que cette surface rampante est aussi celle qui termine le jïlet cVune vis rectangulaire.

311 . Cherchons maintenant V équation aux différences partielles des surfaces conoïdes, afin d'éliminer de l'é-, quation

(19) 2 == cp (^"i:^)

la fonction (f , qui change avec la forme de la directricie curviligne^ car, quant à la première directrice, elle est de forme invariable , et toujours rectiligne dans tous les conoïdes. Différentions donc l'équation (19) , d'abord par rapport à xel z^ et ensuite par rapport à j" et z, et nous

aurons

— np [x — mz) — ( j- — nz) (i — mp) ,

P = (X - mzy '"! '

__ (i -, nq) {x — mz) H- mq{x — nz) ^- {x - mzy ^'

puis , en divisant ces résultats l'un par l'autre , la fonction (f' disparait et il vient

q q (my — nx) -t- {x — mz) '

d'où l'on tire enfin

(20) p (x — mz)-+- q(x — nz)=zo»

Lorsqu'on prend la directrice rectiligne pour axe des Zj cette équation se réduit à

(21) px -hqx^ o.

312. Quelquefois, au lieu d'assigner la seconde directrice du conoïde, on exige qli'il soit circonscrit à une surface donnée L = o ; alors il faut d'abord chercher la ligne de contact par le même principe quç nous avons déjà employé dans plusieurs cas semblables (n^® 285 et 292 ) , c'est-à-dire exprimer que l'équation générale (20) est satisfaite par les valeurs des dérivées p et q déduites de L = o. Ainsi, la courbe de contact se trouvera déterminée par le système des deux équations

Gl^NERATION DES SURF ACES, etC. 249

lesquelles tiendront lieu de F=o, Fi = o, employées au n** 306.

313. Si, par exemple, la droite mobile doit s'appuyer sur OZ , et toucher constamment l'ellipsoïde

A (x — ay H- My^ -h M'z^ = i,

la courbe de contact sera représentée par l'équation précédente, jointe à celle-ci,

AvT (j: — «) -+- A'j' = o ;

or ce système équivaut au suivant ,

Ax' — kax H- A'jr' =; o, A"2' — A«a;= I--Aa^

Ainsi la courbe de contact a pour projections une ellipse et une parabole \ et il sera aisé maintenant de trouver l'équation du conoïde qui passerait par cette courbe.

314. En terminant ce qui regarde les surfaces déterminées par une seule directrice , nous observerons que quand il s'agit de faire passer une de ces surfaces par une courbe donnée

et que l'on veut partir immédiatement de l'équatiou générale du n** 279 ,

propre à la famille de surfaces en question , les quantités u et i^ sont alors des groupes connus eu o: , y, -2 , et il s'agit de déterminer la fonction ç de manière que l'équation (6) se trouve vérifiée d'elle-même en y substituant les valeurs de deux des coordonnées ^ y et z par exemple , tirées de F = o et Fi = o. Pour cela , il suffit d'égaler le groupe u

25o GHAMt&fc XIV.

à une quantité unique a , et d'éliminer Xy y^ z entre les quatre équations

u = ci, t^ = <pfa), F = o, F, = o;

on sera ainsi conduit à une équation de forme connue

qui , si on la résolvait par rapport à (f (a) , ferait connaître la manière dont (f (a) est composée avec a , et par conséquent aussi la forme de (f (i/) : mais , sans résoudre Téquation précédente, il n'y aura qu'à y substituer pour a et 9' (a) leurs valeurs u et Uj et l'on aura pour l'équation de la surface particulière que l'on cherchait

Au reste, cette marche s'accorde évidemment avec celle que nous avons prescrit de suivre , au n*^ 279 , dans chaque exemple particulier.

DES SURfACES RÉGLÉES, GAUCHES OU DÉVELOPPABLES. iSt

fSBSSS^^^S^^SSSSSSSSSiSSStSSSSSl^SSsSS^S^SSSSfSSSSSSSSSi

J)es Surfaces réglées, gauches ou déuel&ppaèles.

315. Jusqu'à présent les surfaces que nous avons étu^ diëes n'admettaient qu'une seule directrice , ou si , comme dans les cono'ides, il y avait deux, directrices. Tune était de forme constante pour toutes les suriaces de cette fa* mille, et l'autre variait seule avec ces diverses surfaces; aussi Téquation "finie f* 8= ^ (u) du n^ 279 ne renfermait qvC une Jonction arbitraire, et par suite Téquation aux différences partielles, indépendante de cette fonction, ne s'élevait qu'au premier ordre, comme on Ta vu dans les divers exemples précédents. Mais quand on assigne plusieurs directrices , Téquation de la surface renferme un pareil nombre de fonctions , ainsi qu'il résulte de la méthode indiquée n^ 278, et l'équation aux différences partieUes est d'un ordre élevé , lequel surpasse en général le nombre des fonctions arbitraires ; car s'il s'agit, par exemple , d'une équation où entrent deux fonctions ^ et ^ , en différentiant deux fois , on se procurera en tout six équations , qui ne suffiront pas ordinairement pour éliminer f , 9, (^' et ^,({''9 Y\ tandis qu'elles seront suffisantes dans certains cas, suivant la manière dont ces fonctions entre«^ ront dans l'équation primitive. C'est ce qui va se vérifier dans les questions suivantes , où nous nous bornerons toutefois à traiter des surfaces réglées, c'est-à-dire de celles qui ont pour génératrice une ligne droite.

252 GfiAPlTILE XV.

316. De la surface gauche engendrée par une droite qui glisse sur deux directrices quelconques (D) ef (IT) , en restant constamment parallèle à un plan fixe.

Nous regarderons ce plan directeur comme étant le plan horizontal des x , y^ et pour construire la surface , nous FiG. 33. couperons les courbes (D) et (D') par divers plans Horizontaux \ puis, en joignant les points de section correspondants par des droites, nous obtiendrons autant de positions MN, M'N', . . . de la génératrice. La surface sera gauche , en général 5 car lorsque la droite mobile passe, en s'appuyant sur les courbes (D) et (i^) , de la position MN à la position infiniment voisine M'N', elle peut être censée glisser sur les tangentes MM'T, NN'V, qui ont avec ces courbes un élément de commun. Par conséquent , à moins de supposer que les directrices aient été choisies d'une manière si particulière que leurs tangentes, pour des points situés à la même hauteur, se trouvent toujours deux à deux dans un même plan , il n'arrivera pas non plus que les positions consécutives MN, M'N', .... de la génératrice puissent remplir cette condition-, ainsi elles formeront une surface gauche (n^273).

Les conoïdes et le paraboloïde hyperbolique sont évidemment des cas particuliers de ce genre de surface.