Les équations de la génératrice seront ici de la forme

mais en exprimant que cette droite s'appuie constamment sur les directrices (D) et(D'), on trouvera, comme nous l'avons dit au n^ 278, deux relations telles que

<>(a,6,7) = 0, ^(a,6,7)r:rO,

que l'on peut concevoir réduites à la forme

DES SUAFACES RÉGLÉES, GAUCHES OU DEVELOPPABLES. ?.53

Si donc on élimine a , 6,7, entre ces dernières équations et celles de la génératrice , on aura pour Téquation générale des surfaces de cette famille

(i) Y =a:(f(z)-h^{z), ou z = .rcp, (3)-+- j-^p, (2).

Cette dernière forme, cpieTon déduit aisément de la première, est plus symétrique, mais moins simple par rapport aux calculs qui vont suivre.

318. Pour obtenir l'équation aux diflerences partielles, indépendantes des fonctions f et ^, différentions la formule (i) successivement par rapport à or et à j^*, il vient

0= <p(2)-f-jr«j)'(«)/? -+- ^'{z)py d'où l'on conclut, par la division ,

Comme il est arrivé ici que les fonctions (f\ ^, ^' sont disparues à la fois, il suffira de descendre jusqu'au second ordre pour éliminer celle qui reste. Si donc , en adoptant les notations habituelles ,

d^'^^' ^5^""*' dp"^'

on différentie l'équation du premier ordre, successivement par rapport kxetkj^il viendra

qr-^ps qs"- pt , , .

— t^^-y'W/'» —;pr- = — ? W^5

puis , en divisant ces résultats l'un par l'autre , on obtiendra pour l'équation commune à toutes les surfaces de ce genre ,

{2) q^r — 7.pqs -^ p^t = O.

^54 CHAPITRE XT.

319. Prenons pour exemple la surface engendrée par une droite mobile qui , demeurant horizontale , s'appuie constamment sur Tellipse et sur le cercle représentés par

Si Ton combine les équations de la génératrice

successivement avec celles des deux directrices , on ob' tiendra les deux relations

et il s'agira d'éliminer a , 6 , y entre les quatre dernières équations^ or, si d'abord on élimine a et y, il vient

d'où il résulte , en éliminant 6 entre celles-ci ,

Cela posé , si l'on conserve aux radicaux des deux membres le même signe, ce sera exprimer que la droite mobile glisse sur les deux courbes, en passant toujours par deux points situés à* un même côté du plan XZ ^ car ces radicaux sont les valeurs de l'ordonnée y dans les deux courbes ; alors l'équation (3) se réduit à

ijui représente le même conoïde que nous avons déjà con-

DES SURFACES RÉGLÉES , GAUCHES OU D^VELOPPABLES. sSS

sidëré n^ 308. En effet, on doit apercevoir qu^ici toutes les génératrices iront percer le plan XZ en des points situés sur une même verticale placée en dehors des deux courbes^ par conséquent ^ la question peut être réduite à faire glisser la géBératrice sur oette verticale et sur Tellipse.

LorsqU^on adoptera des signes différents pour les radicaux de Téquation (3), elle conduira encore à un conoïde analogue, mais dont Taxe sera entre les deux courbes, parce qu^alora on exprimera que la génératrice traverse le jdan XZ entre les deux points où elle s'appuie sur les directrices.

Observons que si , avant d'éliminer 6, on n'eut pas résolu les deux équations qui contenaient cette indéterminée , on serait tombé sur une équation du huitième degré, qu'il aurait fallu ensuite décomposer en deux facteurs , pour y reconnaître les deux surfaces distinctes que nous venons de signaler.

320. Db la surface gauche engendrée par une droite assujettie à glisser sur trois directrices quelconques (D),

(0),(iy).

Observons d'abord que le mouvement de la génératrice est complètement réglé par ces conditions. En effet, si , après avoir pris sur la première courbe (D) un point Fig. 33. quelconque M , on imagine deux cônes ayant ce point pour sommet commun , et pour bases, l'un la courbe (IX), l'autre la courbe (D"), ces deux surfaces coniques ne pourront se couper que suivant une ou plusieurs droites ^ qui satisferont évidemment à la condition de s'appuyer sur les trois directrices^ et pour chaque point M', M", é . . , pris sur la courbe ( D), on obtient des résultats analogues. Cela posé , si , parmi toutes ces droites , on

256 GHAPITRK XV.

nfe considère d'abord que celles qui se rapportent à une même nappe de la surface, c'est-à-dire qui passent par des points voisins les uns des autres sur chaque directrice, on reconnaîtra que le mouyemeotde la génératrice , en glissant du point M aux points M', M'*", . . . , est unique et complètement déterminé.

321. La surface ainsi obtenue sera gauche en général; car lorsque la génératrice passe de la position AMNR à la position infiniment voisine A'M'N'R', elle peut être regardée comme glissant stir les trois tangentes MT, NV, RU, qui ont chacune un élément de commun avec la directrice correspondante \ ainsi , à moins de supposer que ces directrices aient été choisies d'une manière si particulière que, pour chaque système de points (M, N^R), (M', N', R), . . ., situés en ligne droite, les trois tangentes sont toujours dans un plan unique, il n'arrivera pas non plus que les génératrices consécutives AM et A'M' remplissent cette condition, et par suite la surface sera gauche (n® 273).

L'hyperboloïde à une nappe est évidemment un cas très-particulier des surfaces dont nous nous occupons î c'est celui où les trois directrices sont rectilignes. (F^oyez n- 149.)

322. Dans le cas général, la génératrice n'ayant à remplir d'autre condition commune k toutes les surfaces de cette famille, que d'être rectiligne, ses équations contiendront quatre paramètres arbitraires , et seront de la forme

a; = az -f- 7, jr ■= ^z -^ S;

mais il faudra y joindre les conditions propres à exprimer que cette droite a toujours un point de cojnmun avec chacune des directrices (D), (IX), (D"), ce qui fournira ,

DES SUEFACES RÉGLÉE», OATJCHRS OU DEVELOPPAnLES. ^S^J

comme nt>tis TaTons vu 11° 278, ijipoi^ relations entre a, 6, y, (î, lesquelles peuvent être censées ramenées à la forme •

e := <p(a), y =r i)i{a), à =3. tt (a);

puis il resterait â éliminer a, 6, y, cîentre'les cinq équations précédentes. Or, si d^abordon substitue pouf 6, y,'^ leurs valeurs , il vient

(4) j: '= a? -h ^p (a), (5) ^ = «p (a) •+- ïr (a) ;

et quant à a , on ne peut l'éliminer sans déterminer la forme des fonctions, c'est-à-dire sans particulariser les directrices (D), (0), (D') 5 de sorte que pour conserver au résultat toute sa généi^lité , et- le rendre applicable aux diverses surfaces de cette famille, iKfaut garder le système des deux équations (4) et (5) , en y considérant a comme une indéterminée qu'oi» devra éliminer plus tafd, quand la forme des fonctions aura été fixée dans chaque exemple. Au surplu» , il est évident que , sous ce . point de vue, le système (4) et (5) équivaut à une seule équation en x, j^, je.

323. Si Ton voulait obtenir Téquation aux différences partielles, indépendante des directrices , il faudrait, en différentiant le système (4) et (5), se procurer assez d'équations pour pouvoir éliminer a, ç, ij/, ir et leurs dérivées successives. On y parviendrait ici en descendant seulement jusqu'au troisième ordre ^ mais comme le résultat est assez compliqué , et que nous n'aurions pas l'occasion d'en faire usage , nous renverrons à V Analyse appliquée de Monge , où cet auteur parvient au même résultat par d'autres considérations.

324. Prenons pour exemple la surface de la petite voûte que l'on nomme le Biais passé. Sur les côtés opposés d'un parallélogramme horizontal ABDC , on a dé-

258 CHAPITEE XV.

crit deux demi-cercles yerticaux , et Ton as;iujettit une FiG. 38. droite mobile MNP à glisser s«i^ ces deux circonférences et sur la lign^ OY menée par le centre du parallèle* gramme, perpendiculairement aux plans des cercles. Si Ton prend pour axes cette directrice rectiligne OY, la verticale OZ et la droite OX pf^pendiculaire aux deux premières , les équations des trois directrices seront

{x — af -h z' = R% (x -4- -iif -h «» = R^

La génératrice aurait , dans ses équations , quatre, coustantes arbitraires: mais si, .pour abréger les calculs, nous, représentons immédiatement cette droite par

on voit qu'elle remplit déjà la condition de rencontrer Taxe PY, et Tun des pa];:amè(re^ $e trouve par là éliminé de suite. Il reste à exprimer que cette droite mobile s'appuie sur chacune des circonférences , ce qui fournira les relations

(8) [a(ft -f- 6) + a-^ 4- f[h 4- 6)' =' R%

(9) [«(* — S) H- «? H- 7'(* — 6)^ == R% lesquelles donnent, par la soustraction,

6(fta» -4- aa H- hf) =r o.

On pourrait satisfaire à cette condition par 6 = o • mais cette hypothèse exprimerait que la droite (6) et (7) p&e consumment par l'origine , et décrit un cône en s'appuyant sur la moitié supérieure d'un des cercles, et sur la moitié inférieure de l'autre. Or, cette manière de remplir les conditions analytiques du problème ne saurait

i)KS SURFACHS EÉGLÉfiS, GAUCHES OU DÉVELÔPPABLËS. ^Sg

conyenir à la Toùte ea question \ c'est pourquoi nons suppritaneroK le facteur 6 = 0, qui , condriné aréc (6) , (7) et (8), ferait tomber sur Féquatîon de ce cône oblique, et nous garderons seulement la relation

en vertu de laquelle la formule (8) se réduit à

Cela posé, il s'agit d'éliminer a, S, y entre les deux relations (10), (11) et les équations de la droite mobile. Or, si de ces dernières on tire a et y pour les substituer dans (10), on trouvera

ax ' *(^' -F ty *

et enfim , ces valeurs de a et de 6 9 transportées daas (i i)^ donneront , pour Téquation de la surface ,

ou bien

(12) [ajùjr 4. ^ (ar> 4- «*)? = ^'R'^' 4- ^'(R* — a^)zK

Cette surface, qui est nécessairement gaucbe, ^ pour centre l'origine actuelle des coordonnées, puisque son équation ne renferme que des termes de degré peur,- et d'ailleurs le plan des (j:, jr) est un plan principal. Les sections faites par les plans coordonnés sont faciles à discuter.

325. En considérant seidement les projections sur le plan XY, des droites MNP, M'N'P',. . ., elles se coupc-

ront nécessairement, et formeront, parleurs intersections consécutives , un polygone dont la liante sera une courbe, env^cloppe de tontes ces droites , ,et totictiée par chacune d'elles. Pour obtenir cette courbe , on joindra d'abord à Téquation

la relation trouvée précédemment ,

et en éliminant une des constantes et, S, on aura , pour la projection d'une quelconque dés génératrices,

de sorte qu'en attribuant ici à 6 diverses valeurs arnitraires, on pourrah construire autant de positions de la droite mobile, sur le plan XY. Cela posé j on ^diïl(y oyez n° 340) que pour obtenir la courbe formée par les intersections consécutives de toutes ces droites indéiiniment rapprochées, il faut différenlier l'équation (i3) par rapport au seul paramètre variable 6, ce qui donne

b{Yi^ ^à^y

puis éliininer. 6 entre ce résultat et l'équation (i3), ce qui conduit à

équation d'une hyperbole dont Taxe OY est une dçs asymptotes.