Les surfaces développàbles sont encore des sur
DES SURFACES REGLEES, 6AUCHBS OU DEVELOPPABLES. 26 1
faces réglées (n^ 274), mais pour lesquelles deux posir lions consécutwes de la génératrice se trompent toujours dans un même plan^ et cette condition est cause que deux directrices (D) et (D') suffisent (*) pour régler Fie. 34. le mouYcment de la génératrice rectiligne. En effet, soient . • - ' '
(.D) X = yW, y = ♦(«),
les équations de ces deux courbes. Si Ton prend sur la première un point quelconque M pour lequel i; = or, et sur la seconde un point, arbitraire N pour lequel z = 6 , ladroitç MN sera représentée par •
mais pour qu'elle soit une génératrice <Je là surface dé- . veloppable , il faut choisir le point N de manière que la tangente WV se trouve dans un même p tan avec MT, parce qu'alors la droite MN , en passant à la position infiniment voisine M'N', pourra être censée glisser sur ces tangentes, et restera ainsi dans un même plan. Or, les équations des tangentes aux points M et N sont (n° 264)
(MT) X— (p(a)=,p'(a)(î — a), ^ — *(«)=*' (a) (2 — a), (NV) x->K6)=?f(6)(z-6), ^-Y(6)^ T'(6)(z-6),
et pour que ces droites se renconjtrent , il faut (n^ 25)
{*) Quant à la construction grraphique de ces génératrices , voree la Géométrie descriptive , vfi 180.
»62 OHAPITRK XV.
poser la condition
Ainsi cette relation déiearmine S en fonction de a , c'est* à-dire le point N qui correspond à chaque position arbitraire de M sui^U courbe (D). Par conséquent, si entre les équations (i5), (16), (§7) on élimina <|; et 6, on obtiendra Téquation de la surface développable. Cette élimination ne pourra, il est vrai, «'effectuer que dans chaque exemple où Ton aura assigna la forme des courbes (D), (D')^ et pour représenter généralement la surface développable, il faudrait garder le système des trois équations (i5), (16), (17)9 lequel est assez compliqué : mais nous avons voulu seulement montrer que deux directrices suffisaient ij^, et nous allons parvenir à un système général plus simple que le précédent.
327. Puisque dans toute surface développable les génératrices forment, pa^r leurs intersections successives (u? 275), une courbe mm! m" *.., novo^onée arête de FiG. ^. rebroussem^nt, et à .laquelle toutes ces droites sont tangentes, on peut toujours regarder une surface de ce genre comme eugendrée fa^r une droite mobile qu^ reste can^ stamment tangente à une certaine courbe fixe. Soient donc
les équations de cette arête de rebroussemcAt. Une de ses tangentes , dont le point de contact réppûd à .s = a , sera représentée (n^ 264) par
donc , en éliminant a entre ces deux équations , on ob-
DES SURFACES RÉGLisS, GAUGHtS OU DE VELOPPABLKS . ^63
tiendrait celle de la surface , lieu de toutes les tangentes : mais cette élimination ne pouvant encore s'eâectuer <{u*en particularisant |es fonctions ^ et i{/ ou les courbes D et D', on gardera le système (i8) et (19) pcWir représenter toutes les surfaces développables^ en considérant dr, dans la première équation , comme une fonction de x et àey^ déterminée par la secdbde.
328. Cette forme permet ïl'arriver aisément à Téqua-^ tion aux différences partielles; car si Ton dîfférentie chacune des équations (18) et (19), successivement par rapport à or et à y, en se rappelant que la valeur de a qui devrait être tirée de l'une et substituée dans l'autre y serait une fonction de x et de y , on obtiendra
- f' wj=/w(?- J) +?" {-){-— )|'
Mais, en supprimant les termes qui se détruisent dans les
dx
entre la première et la seconde , puis (z — a) —^ entre la
dy
troisième et la quatrième , on obtiendra évidemment deux résultats de la forme
c'est-à-dire où les variables x, y^ z n'entrent pas explicitement. Maintenant l'élimination de a peut s'effectuer,
deux membres de ces équations , et éliminant {^ — ^):j"
264 CBAPITIUÇ XV.
çt elle çoudiiit évidemment à
qui est T^uation aux -différences partielles du premier ordre des surfaces développables , et où il n'entre plus qu'«ne.seu|e fcaiction arbitrair<e dépendante de la forme des directrices ou de Tarète de rebroi3ssenient.
Enfin , poui: faire disparaisse cette dernière trace de la surface particulière ) différentions Téquation (sio), succesr sivement par rapport à or et à /, et iï viendra
puis, en divisant ces résultats Tun parTautre, on élimir nera tout ce qui dépend de la fonction tt, et Ton aura
(21) rt — f^ =r o,
pour rèqit€tUon aux différences partiellei du. second ordre^ commune à toutes les surfaces développaMes.
329. Prenons pour exemple ThéHcoïde dé\^eloppable engendré par une droite mobile qui reste constamment tangente à une hélice, donnée. En disposant les. axes comme dans le n** 310, cette courbe aura pour projections
a: = R sin ( — j , j = R cos ( -— \ ;
et la tangente au point quelconque z =x a, sera représentée par les équations (18) et (i g) du n^ 327, lesquelles deviennent ici
^ . /27ra\ 27rR /zitaX , ^
^ /27ra.\ 27rR . /2fra\ . .
BBS SURFACES RÉOLÉES , GAUCHES . OU DEVELOPP ARLES. l65
Il s'a^t donc d'éKmiBer a entre ces dénx équations, pour obtenir le Heu de toutes les tangentes à ITiëlîee. Or, sî on les niBltiplie respectivement par le sinus et le cosinus qui y entrent , et qu'ensuite on les ajoute , on aura
X sm f — j H- jr cos ( ~T— ] = R î
d'ailleurs, en élevant chaqtie membre au carré, et faisant la somme, il vient, en. ayant égard à la relation précédente ,
Maint/e^ant , il est facile de tirer a de cette dernière équa-» tîon, et en substituant dians 1 autre on obtiemt, pour rhé^ licoïde développable.
. fin a Vx« -f- ^« - R» \ /iTts sjx^ H-r' - K« \ „
équation qui peut être résolue par rapport à z , et ranjenée à la forme
Q7rfir-l-vx» -^y— R' =p: R arctang ^- — .
On voit, d'après le radical qjii y rentre, que la surface n'aura aucun point dans l'intérieur du cylindre sur lequel est tracée l'hélice , et qu'ainsi cette courbe est bien une arête de rebroussement pour les deux nappes de la surface, formées par les tangentes et par leurs prolonge^ ments. La trace de la surface sur le plan des ocy est donnée par réquation
. yjjo" -h r' — R» v^^'H-r' — R' X; sm ~ ^ r+- Y cos —4r = R ,
266 GflAPlTEB XV.
OÙ 1 on recounait la spirale , dé^el^pante du cercle , en remarquant que ceue équation exprime ^pi^ le& •oordpunées Xfy, d'un point d^ la spirale, étant projetées sur le rayon qui aboutit au pointi.où le cercle est touché par la projection de la tangente à Thélice , font une somme égale à ce rayon. Potir étudier davantage cette surface intéressante , nous renverrons à la. Géométrie descriptwe, n«456.
330. JX est une troisièu|e manière d'ex|inmer la génération des surfaces développables; car, puisque deux génératrices infiniment voisines comprennent toujours entre elles un élément superficiel qui est pldn (pP 276) , et indéfiniment'étendu dans sa longueur , on pe«t regarder ces éléments comme faisant partie des positions successives c[ue prendrait li/} plan mobile assufetti à se moui^oir saillant une certaine loi. Cette loi variera avec chaque surface développable particulière ; mais , pour qu'elle règle complètement le mouvement du plan et ne donne pas lieu à une infinité de surfaces, iP faudra toujours (n** 278) que ciette loi né laisse qvî'un seul paramètre arbitraire dans l'équation du plan mobile.
Par exemple, on pourra exiger que ce plan soit constamment normal à une courbe donnée
alors en prenanjt sur cette courbe un point pour lequel z =r: y, l'équation du plan sera de la forme
puis, comme il devra être perpendiculaire à la tangente au point 7 , on aura les conditions
DES SUBFACES ElÉGLilS, GAUCHES OU D^VBLOPPABLES. 267
de savce qu'H ne restera dans son équation qu'une seule coostanle arbitraire 7.
De même , â le plan mobile devait toucher à la fois les deux surfaces
Fi (J?i,ri. *i)=0, Fj i^tyXiy Zj) = O,
pour leiquelles nous désignercHas par pi y q^ et p^ , q^ les expressions des dérivées —, —, Véquation de ce plan aurait d'abord la forme
mais, pomr qu'il touche aussi la seoonde siuface, c'est-àdire pour qu'il coïncida airec le plan tan§^nt au point inconnu X,, y,, i^t» il faudra y joindre les conditions
de sorte que si , entre les six équations précédentes, on élimine cinq des quantités inconnues x^y^ Zi, •x^t^JKt^ ^s? il restera une équation de la forme
» = Ax-f-B^- -h D,
où tous les coefficients seront des fonctions conuued de la seule indéterminée Xi ^ par exemple ; et en attribuant à celle-ci diverses valeurs arbitraires , on obtiendra autant de pkns q^ii loucheitmt à la fois les deux surfaces.
On trouverait d'une manière semblable, ef encore plus aisément, l'équation d'un plan qui devrait toucher constamment une surface unique , mais le long d'une courbe assignée d'avance.
331 . Dans ces trois exemples, et dans tous les cas ou le plan mobile ne pourra varier qpi'en vertu dtm seul para*.
mètre arbitraire , les positions raceessives qn-^il p^efMlrt pour des valeurs très-voisÎTies de ce paramètre , se cotiperont consécAitiT^tnent suîrant des droites <{u$, deux à deux , .9e? trouveront ésfiâewment dans un même plan : ces droites formeront donc ainsi une surface développable , touchée par tous les plans individuels , et qui sera leur enveloppe; ei» €^t, elle axira avec.<îiacun i-etinan élément superficiel de eommuift.
