Or, puisque dans l'équation du plan mobile

les trois coefficients seront des fonctions d'un seul paramètre arbitraire , td..^e y ou Xt , dans les temples précédents , si Tott pose un 4e o^ coeffieients D :<:: « » les deux autres, A et B, devi:eïidront'des f (motions connues de l'indéterminée a 5 par consé(pient l'équation du plan mobile qui engendre une surface développable , pourm toujours être présentée sous la fcffme géniale

(22) zt=i a, ^ xff{c^)'^y'^{(xy

Cela posé, pour obtenir la génératrice de la surface, c'està-dire (n^ 331) l'intersection de deux positions infiniment voisines du plan mobile , il faut combiner Téquation (22) avec celle qu'osa en déduirait , en y remplaçant a par a -+- doi ; ,or, comme par-là le second membre augmenterait de sa diâiérentielle relative à pc seul , il est manifeste que l'ensemble des deux équations dont i?ous parlons, ^quiyajULt aux deux suivantes :

(23) o = ï -f- jT cp' (a) -f. y^' (a).

Ce systènie' représentera donc telle ou telle génératrice reetiligne delà surface, selon la valeur particulière qu'on

DES SURFACES aÉOI.£E$^ GAUCHSS OU D^VELOPPABLES. 269

YQU^ra ilopiV^r i a; çt, par conséquent, Féquation de la surface s'obûex&drft en éliminant. « entre (ai) et (a3). Mais eom&^ie cette élimination ne pourrait s^efTectuer sans fi:ier la formf des fonctions f et ^, e'est^à-*dira sans particulariser' la surface développable , on conserve , pour représenter généralement toute cette famille de sur&ces, le système des ^équations (aa) et (23), en regardant a , dans la première, comme une fonction de x et de ^, déterminée par la, seconde.

333, Si l'on veut parvenir à l'arête de rebroussement (n^ â7ë), qui est le lieu des intersections des génératrices consécvtivet, on combinera la droite (22) et (23), ou a sera alors une constante arbitraire, avec la droite qui en est infiniment vt)isîçc , et qui s'en déduit par le changement de « eti a + ^a ; on obtiendrait ainsi quatre équations dont Tensemble se réduit aux trois suivantes :

(22) « = a -h -Pf (a) 4- 7 >p (a),

(«3) o = . I -+• ar<p' (a) -f. v,ji' (a),

(H) O^ arf(a)-H^-'(a).-

De Sfi^rte que, pour chaque valeur attribuée à ce , ces trois équations feraient connaître les coordonnées ^, y, ^ , du point ou la génératrice correspondante à cette valeur de a est coupée par la génératrice consécutive 5 d'où il résulte qu'en éliminant a du système (22), (23), (24), on aura en x^ jTj z^ l'équation du lieu de tous les points de section analogues, c'est-à-dire l'équation de l'arête de rebroussement de la surface^

334. On retrouve très-simplement l'équation aux différences partielles des surfaces développables , en partant du système

(22) 2 = a 4- JC«ï» (a) -4- ^rj/ (a) ,

(23) o = I + ««p' («) -f- yy (a),

qui les reprësemé tosted^ pourvu ipe , dans la preirfère de ces équations , a «oit cenae une fimaion de' jff et r* déduite de la seconde. En effet , si nous dîflKrentions , sous ce point de vue, TécpKitioii (22), tottr à tour par rapport k x efi y, nous^aurons '

mais en vertu de la relation (aS), ces deux équations se réduisent à

d'où l'on conclura, conune au n*' 328,

/> = TT (^), puis rf — f» =r o. V

335. On a vu, en Géométrie descriptive, que, pour déterminer le contour de V ombre et de & pénombre sur un corps opaque éclairé par un corps lunfineux, il fallait trouver une surface développable qui fût circonscrite à ces deux corps, et dont une des napper les touchât extérieurement, et l'autre intérieurement. La solution analytique de ce problème est renfermée dans la méthode employée n° 330 pour trouver un plan tangent à deux surfaces ; car si l'on reprend les six équations

Fi (-^./Ji, 2i) = o, F,(;r2,/„ z«) = o, p, =/?j, q, — q^^

et qu'on substitue dans la dernière les valeurs de cinq des

DES SURVA^ES eAoI^BS, GAUCSXft OU DiVKLOPPABLM. 2^1

coordoiiftées, elle fure&dra la forme

qui représente un phu tangent aux deux surfaces à la fois , mais dont la position dépend de Tarbitraire x^ : alors, sans qu'il soit besoin de ramener cette équation^ la forme (22), on la différentiera par . rapport an paramètre Xi , et en éliminant cette indéterminée entre les équations

on obtiendra la surface développable demandée, qui, par son intersection avec les plans ou surfaces environnantes, donnerait rombre portée par le corps opaque. Mais s'il s'agit seulement de trouver sur ce dernier corps les lignes qui séparent la pénombre de l'ombre pure et de la partie éclairée, c'est-à-dire les courbes suivant lesquelles ce corps est touché par le» deux nappes de la surface développable , il suffira d'éliminer j?i , yi , z^ entre les cinq premières équations citées plus haut, et Ton* obtiendra pour les deux équations de la courbe de contact ,

336. On pourrait aussi résoudre le problème des ombres , en cherchant directement une droite tangente aux deux surfaces

Fi (^«> /i» «1) = o, Fj(a:„ ^„ «,) = o.

Cette droite , passant par deux points situés respectivement sur ces surfaces , aura des équations de la forme

Zt Z, 2i .— Z-,

mais elle doit être contenue dans la plan tangent au point (Xt, j"i, Zi) ' par conséquent (n^ 44), on aura la condition

On en obtiendrait une semblable pour exprimer que cette droite est tangente à la seconde surface ^ mais il est essentiel d'observer que cela ne suffirait pas pour que la surface, lieti des positions de cette droite mobile , fût développable : car cette ligne, quoique toujours tangente aux deux surfaces , pourrait ne pas rester dans un même plan en passant d'une position à une autre infiniment voisine. Au lieu que toutes ces conditions seront remplie^, si nous exprimons que le plan tangent au point (x, , j"t ? ^t) coïncide avec le premier plan tangent^ et pour cela il suffit, d'après les relations déjà admises, de poser

Alors, si entre les sept équations précédentes on élimine les six coordonnées Xi, j^i, ^t, a:j, y^^ z^ des points de contact , on obtiendra l'équation de la surface développable demandée ; on voit aussi ce qu'il faudrait faire pour trouver la courbe de contact de cette surface avec une des deux proposées.

Si l'on applique au cas de deux sphères quelconques la méthode précédente, ou bien celle du n*^ 335, on trouvera que , dans cet exemple simple , les deux sui-faces développables circonscrites extérieurement et intérieurement, se réduisent à deux cônes droits, et que les courbes de contact avec une des sphères sont deux petits ceixdes perpendiculaire? à la droite qui réunit les centres de ces * deux sphères.