Des enveloppes. Les surfaces développables

DES SURFACES REGLEES, GAUdHES OU DÉVELOPPARLES. 2']^

considérées (n^ 331) comme l'enveloppe des diverses positions d'un plan mobile, ne sont qu'un cas particulier des surfaces auxquelles Monge a donné le nom général d'eni*eloppeSy et sur lesquelles nous allons ajouter quelques notions succinctes.

Lorsque dans une équation unique

il entre une constante arbitt^aire a qui peut recevoir toutes les valeurs de o à ih oo , l'équation proposée représente une infinité de surfaces appartenant à une même famille^ et qui , ordinairement , se couperont consécutivement pour des valeurs de « assez rapprochées les unes des autres. E^ considérant donc deux de ces surfaces individuelles , correspondant aux valeurs quelconques , mais voisines, a et a -f- A, la courbe d'intersection serait donnée par la combinaison des équations

mais ce système équivaut évidemment à celui-ci ,

rrr— H — ; H .... E=S O.

ax aoL^ 2.

Or si ^ sans rien changer à la valeur de a , on fait décroître Fintervalle A, la courbe représentée par ces deux dernières équations variera de position, sur la première surface fixe , à mesure que la seconde s'en rapprochera ^ et pour avoir la limite des positions qu'elle prend alors , il suffira de poser h=o : par conséquent, le système

dF

(25) F(a?, jr, 2, a)=o, (26) ^ = 0,

donnera la courbe suivant laquelle une surface individuelle relative à une valeur cpielconque oc , est coupée par la surface qui en est infiniment rapprochée. Maintenant, pour chaque valeur de à , où pour chaque surface individuelle, il existera une courbe analogue; donc si l'on veut obtenir le lieu de toutes ces intersections j il faudra éliminer le paramètre a entre les équations (aS) et (26) , et le résultat

(27) /(^, jr, Z)=

sera ce qu'on nomme Yem^eloppe de toutes les surfaces individuelles comprises dans l'équation (aS). Cette dénomination est fondée sur ce que cette enveloppe touche chaque surface individuelle le long d'une des courbes d'intersection. En eflFet, si l'on désigne par Fi, Fj, F3, trois surfaces consécutives répondant aux valeurs infiniment voisines a ^ , a j , a 3 , la surface Fj contiendra les deux courbes Ci et C s , suivant lesquelles elle est coupée par les surfaces Fi et Fs ', mais ces deux courbes sont aussi sur l'enveloppe f : doncjcette dernière aura de commune avec la surface Fj , toute la zone infiniment étroite comprise entre les lignes Ci et C 2 *, par conséquent les surfaces Fj et f se toucheront le long de cette zone. D'ailleurs , on pourrait le prouver analytiquement en faisant voir que les dérivées p et q auront les mêmes valeurs dans les surfaces Fj et /", pourvu que sur toutes deux on considère les points de la courbe particulière qui , dans le système (aS) et (26) , répond à l'hypothèse a = a j.

338. Eclaircissons cette théorie par quelques exemples simples. Soit d'abord l'équation

qui représente une suite de sphères d'un rayon constant ,

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et dont les centres sont tous sur Taxe des x> On prévoit bien ici que la limite de Fintersection de deux sphères voisines , sera un grand cercle perpendiculaire à OX , et que toutes ces intersections formeront un cylindre droit qui enveloppera toutes les sphères particulières. En effet, Fécpiation (26 ) devient ici

X — ât = o ;

et en éliminant a , il vient pour l'enveloppei

339. Supposons maintenant que le centre de la sphère mobile parcourant toujours Taxe OX, le rayon de cette Fîg. 39, sphère soit variable et égal à l'ordonnée d'une ellipse BMA ayant pour équations

alors, quand le centre de la sphère sera à une distance quelconque OP = a, l'équation de cette surface aura la forme

Si donc on y joint la dérivée relative à a seul, savoir^

l'ensemble de ces deux équations représentera évidemment un petit cercle, suivant lequel une sphère d'un rang quelconque est coupée par la sphère infiniment voisine. Il est bon de remarquer ici, i*^ que quelque rapprochées qu'on suppose ces deux sphères consécutives, la limite de leur intersection n'est point un grand cercle , comme on

aurait pu le croire d'abord, excepté quand a = o; a° que ces sphères, quoique toujours réelles jusqu'à «=a, cessent de se couper quand on pose

car en substituant dans la première équation la valeur de x tirée de la seconde , on trouve alors un .cercle imaginaire 5 et ce résultat est indiqué par la figure. Il en résulte que la surface enveloppe ne touchera pas toutes les sphères individuelles , mais seulement .celles qui présentent une véritable intersection ; et pour obtenir cette enveloppe, otL éliminera a entre les deux dernières équations , ce qui donnera

résultat qui représente un ellipsoïde de révolution Bmma, dont le grand axe répond à l'extrémité de la dernière sphère qui puisse être rencontrée par une sphère infiniment voisine.

340. Il est manifeste que les raisonnements et les calculs employés dans le n° 337, s'appliqueraient d'une manière toute semblable à une équation à deux variables 7 telle que

et comme en se bornant à considérer ce qui se passe dans le plan XY, cette équation représente alors une famille de courbes qui , en général , se couperont consécutivement pour des valeurs très-voisines de a, on en conclut que la ligne enveloppe de toutes ces courbes individuelles s'obtiendra par l'éliinination de oc entre les