SIS SU.RTACKS RÉGLÉES, GAUCHIS OU DÉVKLOPPABLKS

«équations

Cette règle justifie la méthode que nous avions indiquée au n*^ 325 , pour trouver la courbe enveloppe de plusieurs lignes droites dont la position dépendait d'un paramètre arbitraire 6 ; et l'on pourra encore choisir, comme applications de cette théorie , les questions suivantes :

I**. Trouver la ligne enveloppe de toutes les paraboles renfermées dans l'équation

2®. Trouver l'enveloppe de toutes les ellipses dont les demi-axes font une somme constante k , et représentées par

3*^- Une droite d'une longueur fixe k se meut de manière que ses extrémités restent constamment sur deux axes rectangulaires indéfiniment prolongés : les diverses positions de cette droite mobile formetront , par leurs intersections consécutives , une courbe qui touchera toutes ces droites, et dont on demande l'équation. Cette enveloppe est la même que celle du problème précédent.

341. Revenons aux surfaces, et observons que la courbe (aS) et (26), suivant laquelle se coupent deux enveloppées ou surfaces individuelles infiniment voisines, est celle que Monge nomme la caractéristique de l'enveloppe 5 mais pour comprendre la justesse de cette dénomination, il faut généraliser l'équation (25) , et concevoir qu'il y entre , avec le paramètre a , une fonction quelconque de ce paramètre. Ainsi, soit

(28) F[ar, j,z, «,ep(a)]==ov

si dans cette équation on attribue à la fonction <f une forme déterminée et invariable (pi, il n'y restera plus d'arbitraire que a , et en lui assignant toutes les valeurs possibles, on obtiendra une infinité de surfaces individuelles, composant une famille relative à la fonction (fi , et qxâ admettront une enveloppe d'une certaine espèce. Maintenant donnons à la fonction (f une ^utre forme (pt , puis faisons varier a ; nous aurcms une seconde famille de surfaces individuelles qui admettront une enveloppe différente : il en sera de inème pour d'autres hypothèses ç = qp , , y = ç^ , . . . Mais , dans toutes ces familles , Y intersection de deux eni^eloppées consécutiv^es sera toujours une courbe de même espèce^ en effet , elle sera donnée (n° 337) par le système des deux équations

(28) F [or, j^-, 2J, «,?(«)]= o,'

Or, quelle que soit la forme (pi ou (p $ que Ton attribue k la fonction (f qui ne porte que sur des constantes , au nombre desquellesr est a, les équations (28) et (29) seront toujours composées en a: , j", z , de la même manière ; par conséquent la caractéristique représentée par ces équations , sera une courbe d'une espèce constante pour toutes les familles de surfaces comprises dans le genre (28), et elle offrira ainsi un caractère commun à toutes les surfaces de ce genre.

342. D'ailleurs, comme dans chaque famille Vem^eloppe e^t (n^ 337 ) le lieu des diverses positions que prend la caractéristique, en vertu des valeurs successives données à a, toutes les enveloppes des diverses familles du genre F admettront une génératrice d'une espèce compaune, savoir, la caractéristique (28) 6^(29); donc cette