DES SURFACES RÉGLÉES, GAUCHES OU DÉVELOPPABIES
courbe caractérisera aussi toutes les enveloppes du genre de surfaces F.
Enfin, pour obtenir Fëquation générale de ces enveloppes, il suffirait évidemment d^éliminer la constante a entre les équations (28) et (29). Or, cette élimination ^e pouvant s'effectuer, même quand la forme de F est connue, à moins d'assigner aussi celle de f , ce qui particulariserait la famille , et par suite Tenveloppe , on conserve le système (28) et (29) pour représenter généralement l'enveloppe \ mais alors on regarde a , dans la première de ces équations, comme une fonction de x et y, déterminée par la seconde.
343. Hâtons-nous d'éclaircir ces généralités, eu consi<dérant le genre particulier des canaux circulaires dont l'axe est une courbe plane ^ c'est-à-dire en prenant pour la fonction F la forme suivante ,
On voit que cette équation représente une sphère de rayon constant , mais dont le centre variable est situé dans le plan des x, j^,et a pour coordonnées a et <p(a). Si donc on représente cette dernière par 6 , et que l'on trace la courbe
ce sera la ligne que doit parcourir le centre de la sphère mobile (3o), ouVaxe du canal qui enveloppera toutes les positions de cette sphère. Pour obtenir diverses enveloppe» particulières, il suffirait de poser, par exemple,
ê = ^moL ou 6 = sja^ — a';
on aurait ainsi des canaux dont l'axe serait parabolique ou circulaire. Mais laissons à la fonction y une forme
a8o GHAPITRS XV.
quelconque, et cherchons la caractéristique, -c'est-à-dire • ^'intersection de deux enveloppées consécutives. Il faut joindre à Féquation (3o) sa dérivée complète relative à a , ce qui donne le système
(Jb) (x — a)' -+-[/ — ?(a)]'4-iJ' = R% ■
(32) X — Cf. -+- (j — <pa) . (p'a =o;
et puisque la dernière équation est celle d'un plan qui passe par le centre de la sphère, et qui est évidemment normal k la courbe (3i), il en résulte que la caractéristique est ici, dans chaque famille, un grand cercle NORMAL à l'axe du canal, et dont le centre est sur cet axe curviligne.
Quant à l'équation de l'enveloppe , nous avons dit (n^ 342) qij^'elle ne pouvait être représentée généralement que par le système (3o) et (3 a), -en y regardant a comme une fonction de j: et j^ ^ mais si nous voulons obtenir une enveloppe particulière , par exemple , celle qui se rapporte à l'hypothèse
y(^)=V/fl'~a% d'où ^'(a)=— =,
nous substituerons ces valeurs dans les équations (3o) et (3a), qui deviendront alors
puis , nous éliminerons entre elles a , en prenant sa valeur dans la dernière ; et il viendra , après quelques réductions ,
Celte enveloppe n'est autre chose que le tore, surface de révolution que nous avons déjà obtenue (n° 298),
DES SURFACES RÉGLÉES, GAUCHES OU DÉVELOPPA BLES.* a8 1
Une colonne torse, est aussi l'enveloppe des positions successives d'une sphère, dont le centre parcourt une hélice, et dont le rayon est constant , ou variable si la colonne n'a pas le même diamètre au sommet qu'à sa base.
344. Observons enfin que, dans chaque enveloppe, il existera ordinairement une arête de rebroussement formée par les intersections consécutives des caractéristiques. Or, puisqu'une de ces dernières est représentée (n° 341) par les équations
FL"^>r>2,a,(p(«)] = o, -^= o»
où a est une constante arbitraire, le point de section de cette courbe avec celle qui en est infiniment voisine, s'obtiendra (conmie au n*' 337) en joignant aux équations précédentes leurs différentielles complètes par rapport à a, \ mais ce système se réduit évidemment à
F[x,jr,2,a,?(a)]=:0, -l^ = o, -^-5^=0;
donc il suffira d'éliminer a entre ces trois dernières, pom* avoir les deux équations de l'arête de rebroussement de l'enveloppe.
Dans le tore trouvé au numéro précédent, l'arête de rebroussement est imaginaire si R <«) et si R> a , elle se réduit à deux points situés sur l'axe vertical de la surface : mais on trouvera un exemple plus intéressant de cette sorte de courbes, dans la surface enveloppe décrite ^u n*^ 205 de la Géométrie descriptive.
Des lignes courbes, et de leurs dii^enses courbures.
FiG. 48. 345. Lorsqu'une courbe AMM', plane ou à double courbure , est donnée par ses deux projections
on a vu (n^ 264) que sa tangente était projetée sur les droites qui touchaient les deux projections, et qu^ ainsi cette tangente avait pour équations
(4) ^-y=%Çz'-zU
dans lesquelles x\ y\ z\ désignent les coordonnées courantes de la droite \ x^ y^ z^ celles du point de contact
M ; et où les dérivées -z-^ —, sont censées déduites des
dz dz
équations (i) et (a). Mais, quand la courbe sera définie
par deux surfaces quelconques ,
F(x, 7,3) = G, et F' (or, jr, z) = o,
on sait (n° 265) que , sans les ramener à la forme (i) et (2), la tangente pourra être représentée par le système des deux équations
/ r ^d¥ , , .dF , , .dF
,dr , , .dY' , , .dr
lesquelles appartiennent aux plans tangents des deux surfaces données.
346. Quant aux angles a, 6, y, que forme la tangente avec les axes, on trouvera, en appliquant ici les formules du 11° 27,
dx ^ dy
cos g = - , cose=:3 - "^ ,
S/dx^ -4- dy^ -f- dt" ^dx" -h dy* -f- dz"
dz
^dai* 4- dy^ -+- dz^
cosy =
347. Un arc AM = 5 qui commence à un certain point fixe A , et se termine à un point variable M ayant pour coordonnées a:, y^ z ^ est évidemment une fonction de ces coordonnées , dont une seule est d^ ailleurs arbitraire , en vertu des équations de la courbe. Ainsi eet arc admet une différentielle que Ton peut regarder, diaprés les principes de la méthode infinitésimale , comme Taccroissement MM^ que subit AM , quand on donne à la variable indépendante z un accroissement infiniment petit dz : mais , par les mêmes principes , les autres coordonnées a:, y, croissant aussi de leurs différentielles //r, dy^ le petit arc MM' pourra être considéré comme la distance rectiligne de deux points dont les coordonnées sont j:, j^ z, ex X '\- dx ^ y -f- dy^ z -\- dz-^ par coàséquent on aura
(5) MM' =z ds = ^dx^-hdy^-^dz^.
Cette formule s'obtiendrait, d'ailleurs , en développant le cylindre vertical qui projette la courbe AM sur le plan XY; car, par ce développement, l'arc AM devien,t sans changer de longueur , un arc plan Am = s qui , rapporté aux coordonnées Bp = tel /?/n = PM = z , donne, comme on sait, la relation ds^ = dz^ -^ dt* : maîst
t=Bp=:=zBP est un arc de courbe plaue , qui fournît aussi l'équation dt* = dx* + dy*'^ donc, en substituant, il vient
348, D'après cela , les formules trouvées n° 346, pour les angles de la tangente , peuvent être écrites sous cette forme plus simple
/ci\ dx dy dz
(6) cosa = , cos6 = -, C0S7 = ^;
et il est utile de remarquer que ces formules, qui sont fréquemment employées, peuvent encore s'obtenir en observant que l'élément de courbe MM' = Jj, qui coïncide en direction avec la tangente , a pour projections sur les trois axes coordonnés , les quantités dx^ dy^ dz ; de sorte que le théorème du n® 67 donne immédiatement
dx=idscosoL, djr z=Tdrcos^j dz=zdscosf.
Pic. 48. 349. Une courbe quelconque AM n'a qu'une tangente unique en chaque point M ; mais elle admet une infinité de normales , c'est-à-dire de droites perpendiculaires à la tangente , et menées par le point de contact de celle-ci. Or toutes ces normales sont nécessairement dans un même plan , que l'on nomme le plan normal de la courbe au point M , et son équation aura évidemment la forme
mais puisqu'il doit être perpendiculaire à la tangente représentée par les équations (3) et (4), on aura (n^ 47) les deux relations
X dx B dy
C'^dz' C"" dz '
DE LA COURBUEK DES LIGNES. a85
de sorte que rëquation du plan normal deviendra
(7) i^' — ^)^^ -+- (r ' — /)^/ -h (2 ' — 2)rfz = o ,
où les différentielles disparaîtront , quand on aura tiré des équations delà courbe les valeurs de deux d'entre elles en fonction dç la troisième*
350. Lorsqu'une ligne AM est à double courbure , ses diverses tangentes ne sont pas dans un même plan , mais deux éléments consécutifs MM' et M' M" remplissent toujours cette condition , puisqu'ils ont un point de commun ; alors le plan qui passe par ces deux éléments se nomme ie plan osculateur de la courbe en M , et il change de position quand on considère les divers points successifs M', M", . . . L'équation de ce plan , en tant qu'il est mené par le point M {x^ y, z)^ aura la forme
puis, pour exprimer qu'il passe aussi par M' et par M", il faut écrire que l'équatiou précédente est satisfaite quand on y remplace or, y, z par
