X -h dXy y -h dy^ z -f- dz^ et aussi par
• j:-h2</x -f- flf'jr, y -\- idy -\- d^y ^ z -^ 2dz -+- d^z.
Or, on sait qu'en faisant ces substitutions dans une équa« tion quelconque
elle devient successivement
F -h cTF = 0,
F H- 2dY 4- d^F = o;
et toutes les fois qu'il faudra , comme ici , prendre simultanément ces tix)is équations, leur système se réduira évi-
demment à
Par conséquent, pour exprimer qu'une équation qui est satisfaite pour un certain point , est aussi vérifiée pour deux points infiniment voisins du premier, il suffit de joindre à Téquation primitive sa diflFérentielle première et sa diflFérentielle seconde^ c'est là une proposition que nous nous dispenserons de démontrer dorénavant dans tous les cas semblables. Il résulte de là que le plan osculateur sera déterminé par les équations
A(a:' — o:) -h B(jr' — -^) -j- C (z' — «) = o, Adjc + Bflfj ■+- Cc/z = o, Ad^x -h Bdy H- Cd^z = o.
Les deux dernières font connaître les valeurs de - et - ,
et en les substituant dans la première, on obtient, pour Téquation du plan osculateur ,
^ M -+- (z' — z) {dxdy— dyd^x) S ~ ^'
A la vérité , la courbe étant déterminée par deux équations, une des trois variables est indépendante^ par exemple x^ et ainsi d*x = o. C'est une réduction que l'on in-^ troduira, si l'on veut, dans les calculs précédents^ mais il vaut mieux , pour conserver aux formules la symétrie qui les rend plus faciles à retrouver et à combiner, regarder les trois coordonnées comme des fonctions d'une quatrième variable indépendante et quelconque t \ ce qui est toujours permis , puisque les deux équations x = (f (z) et j^ = •>!' {z) pourraient être remplacées par trois autres, entre x^ y^ z et t.
351. La courbure d'une ligne quelconque AM', auFic. 49point M, doit être estimée d'après V angle de contingence TM-'T' = e que font entre elles les deux tangentes infiniment voisines^ MM'T, M'M^T'^ car cet angle, qui est toujours infiniment petit dans une courbe continue, exprime bien la flexion qu'il a fallu faire subir à la droite MM'T pour la plier suivant la courbe MM'M". . . . Or si, dans le plan osculateur MM'M", on trace deux normales KO et K'O, élevées sur les milieux des éléments Mm' et M'M", ces deux normales comprendront un angle KOK' = TM'T' = e , et leur j>oint de section O sera le centre du cercle qui passerait par les trois points M, M', M". Ce cercle ayant ^inû- deux éléments consécutifs MM', M' M", communs av^ec la courbe, se nomme par cette raison le cercle osculateur relatif au point M, et son rayon serait une des trois distances égales OM , OM', OM"; mais on peut en place adopter pour ce rayon la normale OK = |0 dont la longueur ne diffère de OM' que par un infiniment petit du second ordre, puisque le triangle rectangle OKM' donne
Cela posé, en admettant que les éléments MM' et M' M" ont été pris égaux, l'arc KM'K' du cercle osculateur sera égal à MM' •= ds\ ti comme il est semblable à l'arc e décrit avec l'unité pour rayon, on aura
ds
résultat qui montre, puisque ds est constant ici, que la courbure d^une courbe indiquée par l'angle s , varie d'un point à un autre en raison inverse du rayon OK ='p du
cercle oscillateur; c'est pourquoi celte droite s'appelle aussi le rayon de courbure de la courbe au point M (*). 352. Toutefois, il faut observer que la grandeur absolue de Fangle de contingence s ne suffirait plus pour comparer entre eUes deux courbes différentes dont les éléments pourraient ne pas être respectivement égaux, ou
{*) L^hypothèse admise plus haut, que les éléments MM' et M' M'' sont égaux , revient à supposer que Tare s a été pris pour la variable indépendante, puisque alors ds sera constant : mais dan» toute autre hy-> pothèse, les éléments MM' et M' M'' ne pourront, du moins, différer que par une quantité infiniment petite du second ordre. En effet, Tare AM = s sera toujours une certaine fonction déterminée de la variable indépendante, x par exemple, laquelle devra alors recevoir des accroissements constants désignés par h\ et les. accroissements de 5, loin de pouvoir être pris arbitrairement , devront se déduire des formules
AM = 5 r= ^ (x) ,
MM' = 9» (x -h A) — f (x) = A 9?' (x) -+. -^ çï" (x) -+-.... ,
M'M" = 9p(x-j-aA)-?)(x-j-A) = *ç»' (x) -f- ^— 9" (x) -f- . . . . î
d^où Ton voit qu^en négligeant, comme il le faut, les infiniment petits du second ordre vis-à-vis de ceux du premier, il viendra
M' M " = MM' H- A A», ou ds' = ds -^ kh" ^ ds -,
ensuite on aura , comme dans le texte ,
arc KM' }L'z:z\ds'^\ds' = ds.
D^ailleurs, si Ton appelle p' la longueur du nouveau rayon de courbure KO', quand le milieu de PélémfntM'M" est en I au lieu d^ètre en K', le triangle rectangle ODO' donnera évidemment
'— \ds'-~ids Ah\ ^ ^ "" sin « ~" 2e '
or, comme ce résultat est une quantité infiniment petite du premier ordre , elle doit être négligée vis-à-vis de p, et Ton a ainsi p' = p] par conséquent les formules (9) et (10) du texte sont toujours vraies, mémt quand la courbe n^eit pas divisée en éléments égaux entre eux.
même avoir entre eux un rapport déterminé ; car on sent bien que c'est seulement sur deux arcis de même longueur, que l'angle des tangentes extrêmes manifeste une côurlHU^e {)lus ou moins prononcée. Ainsi l'on doit dire généralement que la courbure d'une courbe est mesurée par le rappmrt
ds p
mais avant de calculer cette expression qui s'applique également aux lignes planes et aux lignes à double courbure , nous allons expliquer en quoi les unes diffèrent des autres.
353. Lorsqu'une courbe n'est point plane, elle n'a en Fie. 49. cbaque endroit qu'une seule courbure qui s'estime comme nous venons de le dire -, mais elle offre en outre une torsion de ses éléments les uns autour des autres. En effet si , dans une pareille ligne , on fait tourner le plan osculateur MM 'M" autour de M' M", pour le rabattre sur le plan osculateur suivant, les trois éléments MM', M'M", M"M"', se trouveront dans un même plan , sans que la cjourburç ou l'angle TM'T' ait été altérée. De même, en faisant tourner le plan actuel MM'M"M'* autour de M^M**, on pourra le rabattre sur le plan osculateur suivant^ et en continuant ainsi de procbe en proche, on amènera tous les éléments dans un seul plan. Au contraire , par des mouvements opposés , qui répondent bien à une véritable torsion , on changerait une courbe plane en une courbe à (^uble courbure; c'est pourquoi il convient de remplacer cette dernière dénomination , qui exprime l'idée fausse de deux courbures, par celle de courbe gauche que nous emploierons dorénavant ^ et la torsion d'une pareille courbe sera mesurée ^ en chaque
200 CHAPITAE XVI.
point y par V angle compris entre les deux plans oscillateurs consécutifs. Cet angle 6 que nous calculerons bientôt, est toujours infiniment petit dans une courbe continue , et il est constamment nul dans tfoe .opurbe entièrefment plane : cet angle repond à ce que divers auteurs ont nommé lajlexion ou la seconde courbure de la courbe.
Fw. 48. 354. Cela posé , pour calculer Tangle de contingence TM'T' = e, désignons par m, i^, tv, les cosinus des angles que la tangente MT Forme avec lest axes , et par m', v'^ w' les cosinus analogues pour la tangente M'T' ; nous
aurons (n^ 34)
CCS e = ai* ' -h w' H- vuu^' ;
mais comme u\ v', w\ sont les fonctions variées de u\ p»', iv', quand x, j^, z deviennent x + dXj y-hdjj z + dz^ on aura , par la formule de Taylor,
(v' = Mc -f- dw -f- - d^iv, " •
Nous poussons ici le développement de u\ i^'^ iv', jusqu'aux termes du second ordre , parce que e étant infiniment petit , son cosinus ne doit diflerer de l'unité qu'à partir de ces termes. Si donc on substitue ces valeurs , et qu'on fasse attention aux relations
a' 4- v^ -h w^ = 1, udu 4- vdp -h (vdw = o, ud^u 4- vd^p 4- «'rfV = — {du^ 4- dv^ + i/w*),
dont les deux dernières se déduisent d£ la première par la
différentiation , on trouvera ^
cos 8 = 1 (du^ -h dp^ -h rfwM.
Mais , en développant le cosinus de Tare infiniment petit s , on a aussi
cos s = I ; donc e' = c?a' -i- dv^ -f- dw^ :
puis, comme on sait (n** 348) que
dLc djr I dz
il viendra pour Tangle de contingence
355. On peut donner à cette expression une forme plus simple. D'abord en effectuant les différentielles des fractions , sans regarder aucune des variables comme indéj^endante , il viendra
\/{dsd}x-^ dxâ}sf -i- {dséPj — dyd}sy -^ (dsd^s -> ded^s)* * 5^ï- •
Si maintenait on développe , on trouvera pour la somme des carrés des premiers termes des binômes,
ds'{d'jc' -h dY ■+- d^z') :
pour la somme des carrés des seconds termes
d\<'[dx' H- dy"" -f- dz") = dsKd^s^ :
la somme des doubles produits donnera
— idsd'^s{dxd^x -H dydy -H dzd^'z) = — 2^jW;
292 CHAPlTKt XVt.
par conséquent , il reste cette valeur bien simple
