Enfin , si de Téquation identique
ds^ = dx^ -{- dy ^-f- dz^
qui donne par la différentiatî«n,
dsd^s = dxd^x -h djrdy-^ dzdHj
on tirait. 1& valeur
dxd^x + dyd*jr 4- dzd^z
sjdx^ -4- dy"^ -H ^'
et qu'on la substituât dans la formule (12) en réduisant au même dénominateur sous le radical j on arriverait à ce résultat moins simple, ^ai^ quMl est bon de connaître,
Ici les trois binômes sous le radical , sont les mêmes que les coeffioents dé Téquation (8) du plan osaulateur.
357. Maintenant que nous connaissons Tangle de contingence, il sera bien facile d'en déduire le rayon de courbure de la courbe, puisque, d'après la formule (9)^
nous avons
ds
donc, en substituant ici Tune des expressions trouvées ci-^ dessus pour e , par exemple celleque donne la formule (i a), il viendra
ds^
\Jd^x^ 4- </ V + ^'«* — ^'^'
DE LA GOUBBUEE DES LIGNES. 3q3
Cette manière bien simple d'obtenir le rayon de courbure f^t connaître sa grandeur, mais non sa position ; et quoi» que ce résultat suffise pour le plus grand nombre des applications , il est cependant des casi-où Ton a besoin d*^ployer la longueur du rayon et les coordonnées du centre de courbure ; c^est pourquoi mous allon» les déterminer par le procédé suivant.
358. Les deux normales particulières KO et K^O ne Fie. 49. sont autre chose que les interjections du plan oscillateur MM'M'' avec deux plans normaux consécutif^ *, par conséquent on déterminera le centre de courbure O en cherchant le point d'interseetion des trois plans que nous venons de citer. Or, Téguation du plan osculateur pour le point M dont les coordonaées sont Xy y^ z, est
A(x' — o^) + B(/ — -vT) -H C(z' — «) = o,
où les quantités A y B» C, désignent, pour abréger, les coefficients de la formule (8) du n^ 350. Le plan normal en ce même point est (n*' 349)
(a?' — x)dx -h (/' — y)dy + («' — t)dz = o,
et le plan normal infiniment voisin s'en déduirait (n^ 350) en augmentant le premier membre de sa différentielle relative aux coordonnées x^y^ z\ mais, puisque nous devons combiner cette nouvelle équation avec Içs deux pré-« cédentes pour obtenir le point de section , il suffit de joindre ici la différentielle du plan normal , égalée à zéro, ce qui donné
(x' — x)d^x -t- {y' — j)rf!r-F- («' — «)rf'a — rf*» = a.
Maintenant il faut regarder les variables x\ j\ z comme les mêmes dans ces trois équations , et alors elles représenteront les coordonnées du centre O commun aux troi&.
plaps : cherchons-en donc les valeurs. Or , les deux premières équations donnent , en éliminant tour à tour y —y et x' —x, .
{x* — x) [kdjjf — Bc/lr) -h {z' — z) {Q,dj — Bcfe) = o, (r' — r) (A.É(r — ' fikr) + («' — z) \kds — Ccir) = o;
tirons de là les valeurs de a:' — Xyj' — y y "pour les substituer dans la troisième ë(|uatiou , €t nous aurons
^^'^. ifa^(A4r-B^ ;
( B<fc — C4r) «i** -h (Cai — A</«) d'r -h (A4r — Brfr) <P« '
mais si Ton observe que , dans ce dénominateur, le coe$cient total de A est égal à la valeur même de A que donne la formule (8) , et qu'ime coïncidence siemblable a Hei^ pour B et pour C , on en conclura
, ^ ds" [Kdy — B^) * ~~" ^ ■" A' -h B» -4- C-' ' et par subite
a/ -^x = ^^MB^^-c^r)
P'â^illeurs, le rayon de courbure n^étant autre chose quç la distance du point x, y^ z, au point de section x\y\ z\ on aurii.
ds' V( Aç?r — Bdlr)' 4- ( Ç^jç ~ A</z)» -h (Bflfz — - Çdy-y
A3 I ga
xnais , en développant les carrés des binômes , on voit que les termes multipliés^ par A', B", C, sont
A2(cÇr» -h dz^), qui égale k^{ds' — dx'-),
W{dx' Jr dz'), . B» (d:y« — dy^),
C'idx' -h ûfr'), 0{ds' ^ dz') ;
DE LA COURBURE DES LIGNES. a^S
de sorte que le radical prend la forme *
V^(A^ 4- B=^ 4- C^') ds" — [kdx -f- B^/ -j- Q.dz)\
Or, le dernier trinôme est ntd, en vertu d'une des équations qui, ont seryi (n^ 350) & calculer^ les coefficients A , By C ; par conséquei;it il reste
c'est-à-dire , ^n substituant les valeurs de A, B, C,
\l{dyâ^z — dtd'yy -f- {dzâ}x — dxd^zy -f^ {dxéPjr — djéPx)''
résultat qui s'accorde bien avec les formules (9) et (i3).
359. Quant aux coordonnées a:', j^', z'y du centre de courbure, si Fou substitue dans leurs numérateurs les valeurs de A, B, C, on trouvera pour le premier, par exemple :
kdy — 'J^dx = d^z (df^ -+- dx^) — dz (dxd^x -h dfdy) = d'z (ds^ — dz^) — dz (dsd^s — dzd^^z) = d^zds^ — dzdsd^s ;
et en développant de même les autres numérateurs , il viendra
, dsUdsdH'-dzd^s)
A» -f- B' -4- C «^ ds
, ^ X , ds'idsdy—dxd's)
A' 4- B» -h C^ ^ rf^
ds^(dsd
xzzz: - . I. M ...^ :::3 p- .
3q6 GHAPIT&E XVI.
360. Si l'on veut obtenir les angles X, jx, v, que forme, avec les axes coordonnés, le rayon de courbure p prolongé à partir du point M de la courbe vers le centre O (ce qui s'appliquerait an cas d'une force attractive agissant sur * un mobile M, Q)t dirigée ters le cenlre.de courl)ure), on observera que les projections de p sur les axes sont évidemment x' — X, jr' — y^z' — z ; par conséquent, on doit avoir (n** 67)
x' — j? = p ces X, y ^^ jr =z p ces fA, z' — z = p cos v ;
et en substituant ici les valeurs données par les formules (16), il viendra
En ajoutant les carrés de ces trois cosinus (*), dont la
(*) jOes formules peuvent servir à démontrer fort simplement un théorème impprtant de Mécaniqye,', relatif au mouvement d^un mobile astreint à demeurer sur une courbe fixe , et diaprés lequel la pression fotole supportée par cette CQurbe, est la résultait^ de la force centrifiige et de la composante normale de la force motrice R qui agît sur le mobile. En effet, en conservant les notations employées par M. Poisson dans son Traité de Mécanique, pages 279 et 3^1 du P^ volume, et en regardant la masse du mobile comme égale à Tunité, les équations de son mouvement seront
-rr- = X — P cos tr ,
dt* '
-rr=Z — P cos t;r*'.
dt*
Or, si Ton décompose la force R en deux autres T et Q , Tune tangente et (^autre normale à la courbe, la première sera, comme on sait, égale à
CE hK GOU&BURB DES LIGNES. 2^*]
somme doit égaler Funité , on retrouverait une valeur de p qui s'actorderait bien avec les formules (9) et (11). 361 . Quant à la torsion ou la seconde espèce de courbure que présente une couri^e qui n'est point plane, nous avons dit (n^ 353) qu'elle ét^it mesurée au point M , par Tangle compris entre les deux plans osoulateurs consécutifs qui passent, l'un par les deux éléments MM' et M'M", l'autre par M'M" et M^'M*^. Le premier de ces plans est donné par la formule (8), que nous écrirons, pour abréger, sous la forme
Ax' H- Bj' + Cz' H- D = o ,
et le plan osèulateur consécutif s'en déduira en remplaçant a:, y, z, par x + dx^ y H- dy^ z + dz] ainsi son
-77 , et Von aura évidemment
^ ^ dxdh
Y = Qcos,' + -^, de sorte qo^en substituant dans les équations primitives , il viendra
P COS CT = Q cos q —
dt
Pcosw' =Qcos9' — - ^ ^
dt'
"'"if)
dt'
Mais si l'on appelle-/, y', y", les angles que forme avec les axes, le pro-
équation sera
à!x' 4- By -+- C'z' + D' = o,
dans laquelle on aura (n^ 35Q) les relations
A' = A + «?A , B' = B -+- rfB, a^C'\'dC,
En appelante Tangle de torsion, on aura donc
AA' + BB' -h CC'
ces 9 =
mais comme cet angle d est infiniment petit , son cosinus ne diflFérerait de l'unité que par des termes du second ordre ; c'est pourquoi il vaut mieux passer de là au sinus y qui aora pour expression
. ■ (AB^ -- -RPlJ 4- (BC^ — CB^)' -4- (CA^ — MCJ ^
loDgement extérieur du rayon de courbure p, ces angles seront les suppléments de >l, /A y V, et par les formules (17) du texte, on aura
cosy=-p ^^ , cos/=-|9— ^j^, cos/=-p-->— ; d^où Ton conclura , à cause de v=.-- ^
Fcoscr =Qco8fl H ces y, •
PCOSO' =:QcOS7' H COSy',
PcofltT'' = Qcos^'' H cbsy",
résultats qui montrent bien que la pression P est la résultante des deux forces Q et — , dont la dernière , dirigée en sens contraire du rayon de
courbure , se nomme la force centrifuge , et subsisterait encore quand j[)ien même Q serait égal à zéro.
DE LA COURBURE DES LIGNES. Zgg
en y substituant les valeurs précédentes de A', 6', C, et négligeant , dans le dénominateur , les termes de Tordre le plus élevé , puis remplaçant sin par 6, il restera
(AdB — B^A)^ + {BdC — C^)' -f- (C^A — A dCy ~ ' (A* 4- B' 4- Oy
Maintenant, il n'y a plus qu'à substituer ici les valeurs des coefficients A, B, C, prises dans la formule (8)*, mais , pour éviter des calculs longs à écrire , nous admettrons qu'une des trois coordonnées , x , par exemple , est prise pour variable indépendante , c'est-à-dire que nous poserons iPx = o. Alors il restera
A = dyd'^z — dzdy, dX = dydH — dzd^y^ B = ~ dxd% rfB = — dxdH,
C = dxdy, dC = dj^dy;
et en ^ubstijLuant dans la valeur précédente de d, on obtiendra, après quelques réductions évidentes,
dxds (dyd ^z — d^z d^y) ^ ^ ^ ® ~(rfy 4- rf V) dx' -+- {djd'z — dzdyf
362. Si la courbe avait un point singulier où elle présentât une inflexion simple, c'est-à-dire ou trois éléments consécutifs fussent dans un même plan , il arriverait que Pangle de torsion oserait nul pour ce point*, par consé-r quent, on aurait la condition
dyd^z — dHd^y = o,
laqueUe, jointe aux deux équations de la courbe, suffira pour déterminer les points singuliers de cette espèce.
-On reconnaîtra aussi qu'une courbe est entièrement plane, lorsque la relation précédente sera vérifiée idenT.
300 CHAPITEE XVI.
tiquement par les équations de la courbe, queUe que soit la variable x,
363. Lorsque deux éléments de la courbe seront en ligne droite, il y aura une inflexion double , ainsi nommée parce qu'elle entraîne nécessairement F inflexion simple dont nous venons de parler. Alors Tangle de contingence sera nul 5 et d'après la formule (i3) où nous supposerons, pour simplifier, que dx est constant, il faudra que
ce qui exige évidemment que l'on ait , pour un tel point,
d^y = o avec dH = o.
364. Pour compléter ce qui regarde les points singuliers, nous ajouterons que quand il y aura rebroussement dans l'espace, chaque projection de la courbe présentera aussi un rebroussement ; et quoique la réciproque de cette proposition ne soit pas toujours vraie, nous pouvons du moins affirmer que les points singuliers de cette espèce satisferont aux deux conditions
d^y =0 ou = 00 , d^z^ =0 ou = co .
365. Nous fel'ODs remarquer ici qu'il existe une différence essentielle, quant aux rayons de courbure, entre les courbes planes et les courbes gauches. Dans les premières , les rayons relatifs aux divers points de la courbe étant tous dans son plan, se rencontrent consécutivement et forment par leurs intersections une courbe à laquelle ils sont tangents', et que l'on nomme la déi^eloppée de la première ^ mais , dans une courbe gauche , les rayons des cercles osculateurs ne se rencontrent pas consécutivement. En effet, par les milieux K, K', K'', . . . , des
DE LA COURBURE DES LIGNES. 3o t
divers éléments de la courbe MM'M". . . ., menons les Fw. 5i. plans normaux P, F, P", . . . , qui se couperont deux à deux, suivant les droites AB, A'B', . . . , et formeront ainsi une surface développable (n^ 331) enveloppe de tous ces plans. Si nous coupons les plans P et P' par le plan osculateur MM'M", qui est perpendiculaire à Tun et à l'autre, nous obtiendrons pour intersections les normales KC et K'C , perpendiculaires à AB, et dont la première sera (u® 351) le rayon de courbure relatif au point M. De même, en coupant les plans normaux P et P" par le plan osculateur MTVI"M'*, on aura pour sections les deux normales K'C et K"C', perpendiculaires à A'B', et dont la première sera le rayon de courbure en M'. Or , ce rayon K'C ne coïncide pas avec l'autre normale K'C, puisque ces droites proviennent du même plan P' coupé par deux plans osculateurs distincts \ ainsi , K'C va rencontrer AB en, un point I différent de C, et par conséquent les deux rayons de courbure KG et K'C, situés dans les plans P et P', n'ont pas de point commun sur l'intersection AB de ces deux plans : donc ces rayons ne sauraient se couper.
Il résulte de là que les centres de courbure C , C, C", . . . , n^étant pas donnés par la rencontre successive des rayons KQ, K'C, K"C", .•.,/« courbe qui passerait par tous ces points n aurait pas pour tangentes ces mêmes rayons, et par conséquent ceux-ci ne sauraient être regardés conmie formés par le développement d'un fil qui entourerait la ligne CCC ... ; donc enfin cette ligne n'est point une déi^eloppée de la courbe MM'M". . ., dès que cette dernière est gauche.
366. Cependant la courbe MM'M" . . • admet une infinité de développées, ainsi que l'a fait voir Monge. En eflTet, si dans le premier plan normal P nous tirons arbitrairement une droite KD, qui sera toujours normale à la
courbe proposée 5 puis, que par les points D et K' nous tirions une autre droite KDD', qui sera dans le second plan normal P', puis une troisième droite K''D'D" située dans le plan P", et ainsi de suite, nous obtiendrons , par les intersections successives de ces normaks particulières, une courbe DDD" ... à laquelle ces normales seront tangentes, et qui pourra servir à décrire la ligne MM'M'\ . . par le développemeiit d'un fil enroulé autour de cette déi^eloppée DD'D" ... Pour le prouver , il suffit de faire voir que les portions DK et DK' des tangentes à cette développée 50nt égales entre elles , ou bien que le point D est à la même distance des trois points M, M', ]Vf'^ or cela résulte de ce que la droite AB étant l'intersection de deux plans P et P ' élevés perpendiculairement sur les milieux des éléments MM' et M'M", cbaque point de AB est à égale distance de M, de M' et de M" : aussi cette droite est-elle appelée la ligne des pôles de l'arc total MM'M'', et les distances DK, DTi,',..,, sont les rayons de déi^eloppée^qvLiï ne faut pas confondre avec les rayons de courbure. D'ail-* leurs, comme la première normale KD a été menée arbitrairement dans le plan P, on pourra donc , en faisant varier cette normale, obtenir une infinité de développées situées toutes sur la surface enveloppe des plans normaux. Pour de plus amples détails sur cette matière , on pourra consulter le Traité de Géométrie descriptive , n^ 659 et suivants.
DE LA COURBURE DES SURFACES. 3o3
De la courbure des Surfaces*
367. Pqtir estimer la courbure d'une ligne quelconque, en un point donné , on la remplace , dans les environs de ce point , par Tare du cercle osculateur (n? 351) qui ayant deux éléments communs avec la courbe , présente la même courbure que celle-ci. Quant aux surfaces , on ne peut pas tenter de les assimiler ainsi à une sphère^ puisque dans cette dernière la courbure est évidemment uniforme tout autour d'une même normale , tandis qu'il n'en est pas de même ordinairement pour une surface générale. Il faut donc alors imaginer divers plans conduits suivant la normale de la siirface au point considéré ; calculer les rayons de courbure de ces section§ planes^ et par leur comparaison , on jugera de la courbure plu» ou moins prononcée de la surface autour de ce point , ainsi que du sens dans lequel est dirigée cette courbure ; car nous avons vu (n*^ 271) que certaines surfaces se trouvaient en partie au-dessus, et en partie au-dessous de leur plan tangent. D'ailleurs ces diverses sections normales se trouvent, quant à leur courbure, liées entre elles et avec les sections obliques , par des rapports bien remarquables que nous allons faire connaître, en commençant par calculer le rayon de courbure d'une section oblique quelconque.
