Soit M (x, y, z) le point considéré sur une sur
3o4 CHAPITRE XVir.
face représentée par
ici où les trois variables ne sont liées que par uae seule équation , deux d'entre elles , x et j, seront indépendantes, et l'ordonnée z admettra, dans les divers ordres, plusieurs dérivées partielles que nous désignerons, suivant l'usage , par
dz dz
dH' __ dH ___ dH
de sorte que quand on aura besoin de faire varier a la fois X et j, les diflférentielles totales de z seront
(2) dz z= pdx -h qdy^
(3) dH= dpdx-i- dqdy
= rdx^ + isdxdy 4- tdy^.
369. Soit maintenant MT une tangente menée à la surface, et dont la position sera fixée par les angles a, 6, 7, qu'elle forme avec les axes coordonnés rectangulaires. Un seul de ces angles restera arbitraire ^ car , outre la relation ordinaire
(4) cos'a -4- cos*6 n- COS'y = l,
il faudra encore exprimer que la droite
, cos a , , , ces ê
af — x = (z' — z), y' — y = (z' — z)y
COS 7 / ' -^ -^ CCS 7 ^ '
se trouve située dans le plan tangent (n** 266)
z' -^ z = p{xf •— or) -h q{y — y)y
ce qui conduit évidemment à l'équation de condition
ces y = p ces a 4- g cos § ,
DE LA COURBVAE DES SURFACES. 3o5
OU bien , en élevant au carré , pour éliminer cosy,
(5) (i -f- /?') ces 'a -I- 7.pq ces a ces 6 -t- ( i + 9') t-'os^ 6 = i .
Ainsi , voilà deux relations (4) et (5) qui lient entre eux , les angles a, &^ y^ et ne permettent plus de se donner arbitrairement qu'un seul de ces angles.
370. Si à présent nous menons . par cette tangente F^^^» 4<>' MT, deux plans sécants, l'un normal à la surface, l'autre oblique et formant avec le premier un aagle o) , ils couperont là surface suivant deux courbes AMB, «A'MB', toutes deux tangentes à MT ; et le centre de courbure de la section oblique s'obtiendra (n** 358) en chercbant le point d'intersection T du plan osculateur, qui est ici le plan de A' MB', avec les plans normaux à cette courbe menés par les points infiniment voisins M et M', Donc , en représentant par Mr et M' T les traces de ces deux derniers plans sur celui de A'MB', la distance MF = |^ sera le rayon de courbure de cette section oblique; et comme les deux plans normaux se couperont suivant une droite TI perpendiculaire sur A'MB\ laquelle ira évidemment ren* contrer la normale MN de4a surface, puisque MN e^ TI sont situées toutes deux dans le plan mené par le point M perpendiculairement à MT, ou voit qu'il - suffira de calculer cette distance MI = p ; car le triangle rectangle Mir fournira pour le rayon de courbure demandé MI' =pi, la valeur (*)
(6) p, = pcos&>.
371 . Cela posé , sans former l'équation du plan sécant de A'MB', il suffit d'observer que les trois coordonnées de
■■*) CeUe méthode est tirée du mémoire inséré par M. Poisson dans le 'ji* cahier du Journal de V École Polytechnique.
3o6 (mAPITRE TkVII.
cette courbe étant liées par cette équation et par celle de la surface , toutes trois seront variables en même tenips , et que leursdîfférenti elles auront avecVélément MM' = ds^ les rapports connus (n** 348)
. .dx dy • ^^
(n) — - = cosa, --- = cos6, -7- = COS7:
^'^ ds ds ds
d'ailleurs la droite II' intersection des deux plans normaux consécutifs , sera déterminée (n° 358) par les équations
(8) {x' — x)dji; -h (^' — y)dx -+- {z' — z)dz = o,
(9) {^' "~ x)d'^x-{- {y' — /H"j-h {2' — z)dH=: ds^^
tandis que celles de la norpiale MN à la surface , seront (n<>270)
(10) a/ — J:-f- /?(«' — z)=rO, {il) y' ^y -\-q(^-^z)=.0.
Mais de ces quatre équations , la première est vérifiée par les équations (10) et (i i) en vertu de la relation (7) à laquelle la courbe A' MB' doit satisfaire, à cause qu^elle est sur la surface donnée *, d'où il suit que les droites MN et n' se coupent effectivement , comme nous Pavions déjà remarqué, et que les coordonnées x\ y\ z'- de leur point de section I, seront fournies par les équations (9), (10) et (ii)j 90US la forme
, d^ , — qds^
* '^^^ d^z—pd^x^qd^y^ •^ ^^ d^z—pd^x-^qd^y^
' —pds^
dH — pd^x — qd^y'
La droite MI = p qui est la distance du point (x'^ y^ z') au point M (j?, y^ ^\ ^^^ alors facile à calculer, et Ton trouve
ds^sji -hp^ -|-<7'
d^z — pd^x — qd \y '
mais les différentielles qui entrent ici, appartenant à une courbe A' MB' située sur la surface donnée , doivent satisfaire à la relation
qui, étant différentiée sous le point de vue actuel, c'està-dire en y regardant Xy y^ z, cermme variant à la fois, fournit , au lieu de la relation (3), la valeur
</'z = pd^x -h qd^y ^ rdx^ -h isdxdy -H tdy'^ ; de sorte qu^en substituant dans Texipression de p , il vient
ds"^ \j\ -^ p^ -^ q^ ^ rdx^ -f- isdxdy H- tdy'^
ou bien , en divisant par ds^ et ayant égard aux fori»«ïes (7),
^ ^ rcos' a -h 3.^cos a cos 6 + Icos' 6
372. Ce résultat qui , joint à la formule (6) , pi = p coso), Fig. 40. permet de calculer le rayon de courbure MI' = pi de la section oblique A' MB', montre que la portion MI = p de la normale à la surface , est indépendante de Tangle &> , c'e&t-à-dire qu'elle demeure constante lorsque le plan sécant toiune autour de la même . tangente MT, quoique alors MI' = pi change de grandeur et de position. Par conséquent , si Ton pose e«) = o dans la formule (6) , il viendra p^ = p'^ ce qui prouve que MI = p est précisément la position et la grandeur du rayon de couil)ure de la section normale AMB passant par la tangente donnée MT. D'ailleurs, la formule (6) devient alors l'expression d'un théorème lemarquable dû à Meunier j savoir : que fe rayon de courbure d'une section oblique est la projection, sur le plan de cette courbe , du rayon de la section normale guipasse parla même tangente.
3o8 GHAPITsk XVII.
373. On peut énoncer ce Aéorème sons une autre forme, en imaginant une sphère décrite du point I comme centre , avec le rayon de courbure IM de la section normale AMB ; car il résiflte évidemment de ce qui précède
Fie. 45. que tout plan N'MT conduit par la tangente MT, coupera cette sphère suiuaiHt un cercle MD' gui sera le cercle oscillateur de la section faite dans la surface par le même plan.
Fio. 4o- 374. Maintenant , comparons entre elles les diverses sections normales faites dans la surface , tout autour du point M, et dont les rayons de courbure sont donnés (n° 372) par la formule (*)
^ ' ^ rcos^Qt 4- 2fCOsaco$6 H- /cos'5
dans laquelle les angles a et 6 ne peuvent varier qu'en restant toujours soumis à la relation trouvée n^ 369,
(i3)(i -4-/?*)cos'a +2/7^cosacos6 -h(i -l-^')cos'€ = i.
Cette relation pourrait s^obtenir d^une manière plus prompte , en observant que les coordonnées de la cdlirbe AMB, qui satisfont toujours à la condition générale
djc' -h dy^ -{- dz^ =z ds^^
(*) Si Ton voulait arriver directement à ce rayon p, sans passer par la considération d'une section oblique, il suffirait, en réduisant les raisonnements du n^' 570, d^observer que le centre de courbure de AMB est à la fois sur la normale MN de la surface , et dans les deux plans normaux consécutifs de la combe AMB \ or comme le premier de ces plans ren ferme nécessairement MN , cela reviendrait encore à combiner les équations (9), (10) et (11) qui conduiraient ainsi directement à la formule (la). Mais ici , nous avons voulu démontrer en même temps le théorème de Meunier.
DE LA GOUABD&E DES SURFACES. Sog
doivent ici vérifier l'équatiou différentielle de la s^r£s^çe ,
dz = pdx •+• qdy ; ce qui donne
(i '^p^)dx^ H- ipqdxdy -h (i -h <7^) dy^ 3= ^/^^ j
puis, en divis£uit les deux membres par ds^^ çt ayant égard Qux formules (7), on retomberai t^ sur (i3).
Toutefois, si l'on voulait n'«mployer qu'une seule indéterminée , on poserait
/ f\ cos 6 ^ dy
ces a dx
et en substituant dans (12) et(i3)y elles conduiraient, par Télimii^ation de cos'a, à cette nouvelle expression
375. Cela posé, observons que si, dans les formides (i 2) et (i5), nous convenons de prendre toujours positivement le radical ^i +p* + y'> la valeur totale de p aura constamment le mime signe que son dénominateur ^ car le numérateur de .la dernière formule , égalé à zéro , n'admet que des racines imaginaires pour m. Or ce déno- :çninateur est égal, à cela près d'un facteur positif cos'a, au dénominateur de la valeur trouvée pour z' — z au n** 371 : donc p et z' — z seront toujours de mêmes signes. Par conséquent, lorsque p sera f?ositif -ponr nue valeur attribuée à a ou à m dans les formules (i 2) ou (i 5) , on pourra affirmer qu'alors -2' > z, et que par suite le rayon de courbure p se trouv^era dirigé au-dessus du plan tangent; de sorte que la section normale correspondante se prouvera concave, au moins daiis ks environs du j^oint
3tO CBAPlTRlt XVII.
considéré. Au contraire, lorsque p sera négatif dans les formules (la) ou (i5), on aura r' <^^f et, par suite, le rayon de courbure p sera dirigé au - dessous du plan tangent; c'esl-à-dîre que la section correspondante se trouvera com^exe dans le voisinage du point en question. Ainsi , d'après la convention admise plus haut sur le ra-
dical yi +/^* ^" V*> ^^^ fortoules générales (12) et (i5) offriront Tav^uitage d'indiquer à la fois la grandeur et le sens de la courbure de chaque section normale.
376. Pour reconnaître immédiatement si toutes les sections normales autour d*un même point, sont convexes ou non , cherchons les racines du dénominateur de p , égalé à zéro , ce qui donne
ces 6 — - 5 dt l/j» — rf
cos a t
d^où nous conclurons que, quand les coordonnées Xyj^ z, du point considéré sur la surface , vérifieront la condition
le dénominateur en question ne changera jamais de signe quel que soit l'angle a 5 donc toutes les valeurs de p auront un signe constant, et la surfac*e se trouvera située, dans les environs du point considéré, tout entière audessus ou tout entière au-dessous de son plan tangent. On dit alors que la sur/ace est com^exe tout autour de ce point ^ et elle serait entièrement convexe , si la condition précédente se trouvait vérifiée par tous ses points , comme dans un ellipsoïde.
