Au contraire, si , pour le point considéré, on a
le rayon de courbui# deviendra infini pour les hypothèses
DE LA COURBURE DES SURFACES. 3l I
Tn=zmiy m z=z m, , et il changera de signe avant et après chacune de ces i*acines : d'où îl suit qu'il y aura des sections normales situées au-dessus du plan tangent , et d'autres situées au-dessous, et que la surface sera non convexe ou à courbures opposées autour du point en question. C'est ce qui arrive, entre autres, dans les surfaces gau^* ches considérées au n^ 318; car l'équation commune à tous leurs points étant
laquelle peut s'écrire sous la forme
{qr #— psy -f-i>' {rt — x^) = o , •
on voit qu'ici rt — 5* est nécessairement négatif, et qu'ainsi les surfaces de cette classe sont toujours non con\^exes Adius tous leurs points. Nous reviendrons plus en détail sur cette discussion que nous ne voulons qu'indiquer en ce moment.
378. Enfin , dans les surfaces dèveloppables , dont l'équation générale (n° 3
rt — f ^ = o , • "
il arrive que le dénominateur de p devient uu carré parlait, et par suite, ce rayon de courbure gardera encore un signe coustanfr-pour tous les points d'une telle. «ur- 6ice« Elle sera donc convexe en chaque poînt; mais elle aura une courbure nulle dans la direction unique qui répond à
m z^ nii =: OTî, d*où p = oo ,
direction qui coïncide évidemment avec la génératrice Fcctiligne de la surface développable.
379. Rentrons dans le cas général auquel se rapportent tqs formules (12) et(i5):^ et comme il est évidentà;?nbn
3l2 CHAPITRE XVII,
qu'en faisant tourner le plan sécant tout autour de la normale , la courbure de la section ne peijt pas croître ou décroître indéfiniment, il* y a lieu de chercher quelles sont les valeur» de ct^ ou de m qui rendront le rayon p minimum ou mxiximwn. Or, les quantités p, q^ r, 5, t étant Am fonctions de x, y^ Zy qui se déduisant de Fé-r quation de la surface , et sont par conséquent indépendantes de a. (*•) ou de la direction donnée aj^ plan sécant, il suffira d'égaier à zéro la différentielle de la formule (i 2) prise par rapport à a et 6 , et d'y joindre la différentielle de l'équation (i3) qui lie entre eux ces deux angles. Il pourrait paraîue plus simple d'emplojer la*formule (i 5),^ où l'on n'aurait à différentier que par rapport à la seule indéterminée m ; mais lés calculs seraient moins symétriques , et nous préférerons la première méthode. Si , d'ailleurs , nous écartons, l'hypothèse
dp
— '- =r 00 , d.oi
laquelle peut fournir quelquefois des mininium ou ftiaxi" mumj c'est qu'elle ne conduirait ici qu'à égaler à zéro le dénominateur de p , et donnerait ainsi les valeurs infinfies déjà remarquées au n** 377, mais qui ne sont point de véritables minimum ou maximum^ car, le rayon Jb changeant brusquement de signe ava»t et après ces valeurs extrêmes^ on ne trouve plus là la continuité indis-
(*) Cependant, pour quelques points singuliers dans lesquels les dérivées pf q, r, s, tf prennent la forme indéterminée -, il peut arriver que
leurs vraies valeurs se trouvent dépendre de a; mais ce sont des cas très- particuliers pour lesquels nous- renverrons au mémoire déjà cité de M. Poisson, à qui Ton doit la remarque et l'explication de ces circonstances sin^ilières {Voyez le -21® cahier du Journal de VÉcple Polyiech' nique.)
UE LA COIT&BU&K I>ES SURFACES. 3l3
peasable au maximum qui a besoin d'êu*e immédiatement suivi et précédé de valeurs plus petites. En parlant donc des formules (12) et (i3), nous poserons
(rcos a -H« COB 6j 8ina<2flt + (< coff 6 + «C0B a ) 6m €<26 =0, [(H-;»')cosa +/7f co8 6]8ino(ifa+ [(1 + ^'j co8 6 -H f>^ coB a]8in6di6 = o,
d'où Ton déduit
, ç. rcosa,+ 'yf O»€ (l -!-/>*) 0OSa-f-/>y ces 6
^ ^ rcos6 +<fCos0K (i +9*)cos€+/79cos«'
Cette relation , jointe à (i3), déterminera les valeurs de a et S qui rendront p minimum, ou maximum^ donc , pour obtenir Téquation qui donnera fiiniultanément |tous ces rayons particuliers qu'on appelle ttAyon & priiï cipaux , il suffit d'éliminer a et 6 entre (-la), (i3) et (16)1 Mais, afin de n'avoir à opérer que sur des équations du premier
degré, multiplions d'abord l'équation (16) par ^ — s,
pais ajoutons l'unité à chaque membre^ nous formerons ainsi une nouvelle équation où il entrera: i® le polynôme (i 3) qui égale l'unité; a^le dénominateur de p, qui
pourra être remplacé par - , en posant pour abréger ,
de sorte qu'il viendra
(17) ^cos6 -h 5C0Sa ==- [(i -f- y>) cosS -h/?7 cosa].
De même , en renversant d'abord les fractions dç l'équation (16), et multipliant les deux membres par ^^ , puis
^ cosa *
en ajoutant l'unité à chacun, on trouvera
(18) rcosa -f. rcosê = ~[(n^ p^) ces a + /m/ cos 6] .
3l4 CHAPITRE XVII.
Alors, voilà deuK équations (17) et (18) qui peuvent remplacer,(i3) et (16), et qui sont du premier degré ; on en tire aisément
('9) [p^— ^(ï -+-^')J cos6 ={^pq — ps) cosa,
(20) [pr— A{i -t-/?')]cos a = {Âpq — ps) cos 6 ;
puis , en multipliant ces dernières Tun^ par l'autre , a et 6 se trouvent éliminés; et il vient, en remplaçant le signe général p par R, qui désignera dorénavant les rayons principaux j
(21) R>(?t— 5») — R/^ [(i -4- ^')r— . 2/>çj -f-(i4-/?^)^]-h>5-* = o.
Cette équation du second degré montre que, parmi toutes les sections normales faites autour d'un même point d'une surface , il n'y en aura généralement que deux dont les rayons de courbure soient plus grands ou plus petits que les autres ; leurs valeurs seront données par les racines dfi l'équation (ai), savoir (*),
où nous avons posé, poiu* abrégei,
A = (i + ç*)r — '^pqs -f- (i -f-/?*) f ;
(*) Ces racines sont toujours réelles, comme nous le prouverons généralement au n^'SdS; mais on pourrait s'en assurer déjà très-simplement en supposant ^ = o et 7 = o dans Téquation (aj ), qui donnerait alors des valeurs dont le radical porterait sur la somme de deux carrée. Or, comme cette hypothèse revient à supposer que le plan des (x, y) a été choisi parallèle au plan tangent dans le point considéré, ce qui ne peut altérer nullement la forme de la surface, il est certain que si les deux rayons R' et K'' soni réels 4ans cette hypothèse, ils le sont pareilleraei»^ dans touie- 9utre position des plans coordonnés.
DE LA COURBURE DES SURFACES. 3l5
et nous prouverons plus loin (n®* 388, 388) que , de ces deux rayons, l'un R' est toujours un minimum, et l'autre R" un maximum parmi toutes les valeurs de p , du moins en comparant celles qui ont un même signe.
380. Au rayon minimum R' correspondra une section normale de courbure maximum, et au rayon maximum^' une section de courbure minimum, lesquelles se désignent aussi sous le nom de sections principales. Pour trouver leiu^s positions , il suffit de recourir à l'équation (i6) qui détermine le rapport
ces € dr
cos a eue
et qui, ordonna par rapport à cette quantité, devient
— [{i-\-p')*—pqr]—o.
{jes deux ra/eines de cette éipiation (^) a^ont évidemment Fie. 46«
m' = tang P'PS, m" = tang P"PS ;
ainsi elles feront connaître les projectiopç PP ' et PP' des deux tangentes MM' et MM" par lesquelles doivent passer les plans normaux qui contiennent les deux sections principales MA et MB \ mais pour distinguer celle qui répond au rayon minimum R' de celle qui répond au rayon maximum R", il n'y aura qu'à substituer tour à tour R' et R" à la place dep dans une des équations (19) et (20), puis
(*) Ces racines sont aussi toujours réelles, comme nous le prouverons cl\ine manière géoér&le Au n® S96; mais ofn peat le recotinaUre 4éjà, en \iQif0i%p7^o et 9:770, comme dans la note préoédente; car réqitation (23) se réduit alors à la forme (24) , où la réalité des racfnes est évi dente.
3l6 CHAPITRE XVII.
en déduire la valeur de
cos 6 cos a*
381. Les plans des deux sections principales sont toujours perpendiculaires entre eux. En effet, Tangle de ces plans est évidemment mesuré par celui des tangentes.
Fie. 46, IVJJVI' et MM"; et pour estimer ce dernier plus facilement , nouâ supposerons que les axes coordonnés ont été choisis de manière que le plan XY soit parallèle au plan tangent de la surface en M. Cette' hypothèse ne peut rien changer à la position relative des tangentes ou des éléments MM' et MM'' ] mais elle rendra ces éléments parallèles à leurs projections PP' et PP", et, par suite, il suffira de prouver queFangle P' PP" est droit dans cettç hypothèse. Or, Téquation générale du pla^ tangent
devant se réduire alors à la forme Z = js , on en conclut que pour cette position du plan tangent , on a ^ = o et <^ = o; valeurs qui introduites dans Téqualion (23), la réduisent à
et la forme du dernier terme montre que les deux racines satisfont à la condition
ce qui prouve que les deux directions PP' et PP^' sont bien rectangulaires, ainsi que les tangentes MM' et MM" dans Fespace.
382. Pour apercevoir aisément les rapports que les deux retyons principaux ont avec les autres , imaginons que l'origine des trois axes coordonnés rectangulaires soit
DE LA COURBURE DES SURFACES. 3l7
placée au point M donné sur la surface , el que deux dé
ces axes, MX et MY, soient situés dans le plan tangent; Fig. 41,
alors on aura , comme ci-dessus , les conditions
/? = o , q = Oy cos 6 =: sin a , ce qui réduira la formule générale (12) à
' rocs* a-h 2*cosasmà-+-rsm*a
En outre, nous pouvons admettre que les deux axes MX et MY ont été choisis tangents aux deux sections principales MA et MB, puisqu^on vient de voir que ces courbes sont situées dans deux plans normaux rectangulaires ; mais alors une des racines de Téquation (a4) devra être nulle, et Tautre infinie; ce qui entraine évidemment la condition 5 = 0, attendu que Ton a
m' -f- m" = , el m' ,m" = — i :
donc , avec de tels a^es coordonnés, on aura pour le rayon de courbure MI d'une section normale MN qui fait un angle a avec MA, la valeur très-simple
^ rcos*a -h^sin'a' ,
- 383. Maintenant , pour déduire de là les deux rayons principaux qui appartiennent, d'après nos hypothèses, aux sections MA et MB , il suffit ici de poser tour à tour a = o, a = 90^; ce qui donne
MG = R' = i, MH = R" = -.
Or, en substituant ces valeurs dans la formule (26),
3l8 CHAPITRE XVU.
Texpression d'un rayon quelconque MI = p , devient
relation très-remarquable, trouvée d'abord par i?«/er, et d'après laquelle on pourra toujours calculer aisément le rayon de courbure MI = p d'une section normale quelconque MN, dès que l'on connaîtra l'angle « qu'elle forme avec une des deux sections principales MA et MB, ainsi que les rayons R' et R" de ces dernières.
Tandis que si l'on employait des sections normales quelconques, il faudrait connaître trois rayons p', p", p* de pareilles courbes, et les angles a' el a" compris entre elles, pour calculer, d'après la formule (aS), le rayon p d'une section normale MN qui ferait l'angle a avec la première. En effet, si dans la formule (aS) où a est compté à partir d'un axe des x qui a une direction arbitraire sur le plan tangent, on pose tour à tour
a = o *el p = p',
a = a' et p = p".
a et p n: p ,
on aura trois équations de condition qui suffiront pour déterminer les constantes r, 5 , t\ après quoi , cette même formule (a5 ) fera connaître le rayon p de la section particulière que l'on cherche.
384. Remarquons ici que si Ton compare deux sectiims normales qui soient perpendiculaires Varie à V autre y^ leurs rayons de courbure p et p se déduiront de la formule (•27) en y posant successivement
at. -=1 9.' et a =: a' -{- 90°,
1)K LA COUaBURK DKS SUBFACES. Sli^
€6 qui donne
