l cos»a'-^ ^, sin» a', 4 = ^ «n' a'-h ^ cos' a' j

d'où l'on conclut

Ainsi /a somme ries rayons de courbure reni^ersés de deux sections rectangulaires, ou bien la somme des courbures (n°352) de ces sections, est toujours constante autour d'un même point d'une surface. Mais on doit bien remarquer qu'il s'agit ici d'une somme analytique; car les règles établies au n° 375 , sur les signes des rayons et sur le sens de la courbure des sections normales, doivent être observées dans toutes les conséquences que nous avons tirées de la formule" générale (12)', et c'est aussi d'après ces règles que nous allons maintenant discuter l'équation d'Euler.

385. Liorsque les deux rayons principaux sgnt de même signe, comme dans ^Sifig. 41, où R' = MG et R"=MH, fig 41, la formule

montre clairement que , quel que soit l'angle ot , chaque section normale MN aura aussi un rayon p = MI de même signe que R' et R"; et par conséquent (n** 375) toutes les sections normales autour du point M seront situées , dans les environs de ce point , d'un même côté du plan tangent : la surface est dite alors conv^exe au point M. Dans la même hypothèse , le plus petit des deux rayons pHncipaux, en valeur absolue, est yiiiniiAvvi parmi lotis les rayons de courbure des diverses sections normales;

et le plus grand des deux rayons principaux est maximum entre tous les autres. En effet, puisqu'ici R', R" et p sont tous de même signe, Tëquation (27) subsistera toujours en ne prenant que les valeurs absolues de ces rayons, c'est-à-dire en rendant tous ses termes positifa^ et si alors on suppose R'<R"9 on pourra écrire cette équation sous Tune et l'autre des formes suivantes :

Or, d'après l'hypothèse R'<R", il résulte évidemment de ces équations qu'on aura toujours, quel que soit l'angle a,

d'où

R'<p et R">p;

ce qui prouve que R' est minimum^ et R" maximum entre toutes les valeurs de p.

386. Lorsque les deux rayons principaux sont égaux et de même signe , la formule (27) montre que p = R', quel que soit l'angle a \ alors toutes les sections normales faites autour du point M ont une courbure égale , et chacune peut être regardée comme une * section principale. En effet , si nous prenons le plan tangent pour le plan des (jr, y ) , comme au n° 381 , nous aurons ^ = o , ^ = , et la formule générale (22) deviendra

r->rt±)j{r-^ ty -^ ^s^

or, pour que ces deux valeurs soient égales, il faudra

poser à la fois

r — ^ = o et f=o,

conditions qui rendront identique Téquation (24)9 et laisseront alors entièrement arbitraires les directions des sections principales c[ue cette équation devait déterminer. Cette circonstance se présente évidemment dans une sphère pour tous ses points, et dans un ellipsoïde de révolution pour les deux points qui sont sur Taxe ; mais nous reviendrons (n** 397) d'une manière plus complète sur ce genre de points singuliers que l'on nomme des ombilics.

387. Supposons maintenant que les rayons principaux soient de signes contraires^ par exemple , R' positif et R* négatif; les deux sections principales MA et MB auront la position indiquée ^g. 4^? ®t la surface ser^ non convexe au point M , puisqu'il y aura des sections situées au-dessus du plan tangent en ce point , et d'autres placées au-dessous. Pour déterminer les limites des unes et des autres , mettons en évidence les signes des deux rayons R' et R" dans la formule (27), qui deviendra ainsi

(28) =3: cos* a — — 7. sîn' a.

On voit alors qu'en faisant augmenter l'angle a à partir de zéro , le rayon variable p commencera par être positif, et égal à R'*, puis, il ira toujours en croissant jusqu'à |0 = 00 , valeur qu'il atteindra quand l'angle a aura acquis une grandeur w propre à vérifier l'équation

cos^ci> sin*«

f-Vkff

d»où tang«=:±:y— .

Si donc on tire dans le plan tangent , deux droites MD Fie. 4^ iet ME qui fassent chacune avec MX un angle égal à w ,

ces droites seront les traces de deux plans normaux limites, tels que toutes les sections^-eomprises dans les deux angles opposés D'ME et D'ME' auront des rayons de courbure positifs^ et par suite ( n° 375 ) ces sections seront toutes situées au-dessus du plan tangent. D^ailleurs, il est évident que R' sera le minimum de tous ces rayons positifs,

388^ Si Ton fait ensuite augmenter a au delà de ct>, la formule (28) montre quep devient négatif, et va en décroissant numériquement depuis « = («), oùp = ±:oo, jusqu'à a = 90®, où p = — R'' : au delà le rayon p , toujours négatif, recommence à croître numériquement jusqu'à a= 180** — ûi), où p = — 00 ; de sorte qu'en continuant cette discussion, on verra que toutes les sections situées dans les deux angles opposés DME'et D'ME, ont des rayons de courbure négatifs , et par conséquent ces diverses sections sont toutes (n® 375) au-dessous du plan tangent.

D'ailleurs , on voit que ïl" sera le minimum numérique des rayons de courbure de ce genre 5 ou bien , si l'on continue à tenir compte de leurs signes, on peut dire que le rayon — R" est un maximum analytique , mais seulement par rapport aux rayons négatifs : au lieu que dans les surfaces convexes (n^ 385) les deux rayons principaux R' et R" étaient, l'un mùumum absolu, l'autre maximum absolu entre tous les rayons de courbure des diverses sections normales faites par le point en question.

389. On trouve des exemples de ces courbures opposées, sans sortir des surfaces du second ordre. En elTet, dans le paraboloïde hyperbolique et l'hyperboloïde à une nappe , nous savons que le plan tangent en un point quelconque coupe la surface suivant deux droites ^ or ce sont ces lignes quî , tenant lieu des droites DD' et EE' (Jig- 4^),

partagent la surface en quatre régions opposées deux à deux , dans lesquelles les sections normales tournent successivement leur convexité en sens contraires. Pour fixer davantage les idées , il n'y a qu'à considérer spécialement Tun des quatre sommets de 'Phyperboloïde à une nappe », et faire tourner le plan de V ellipse de gorge autour dé l'axe qui coïncide avec la normale à ce sommet: alors on reconnaîtra sans peine que ce plan mobile donne d'abord des sections elliptiques convexes extérieurement,, puis des hyperboles concaves ; et que ces deux genres sont séparés par deux sections rectilignes , qui tiennent lieu de paraboles , parce que le plan sécant , arrivé à l'une ou à l'autre de ces limites, renferme deux droites parallèles de la surface.

390. Observons que dans l'hyperboloïde gauche dont nous parlons ici , les sections normales limites sont précisément ces deux génératrices rectilignes , et par conséquent leurs rayons de courbure sont évidemment infinis , comme l'avait annoncé la formule (28) ^ mais , dans les surfaces d'un degré plus élevé , les plans normaux limites donneront des sections curs^ilignes , distinctes des droites Diy, EE', et tangentes à ces lignes , avec lesquelles elles auront même un contact du second ordre au moins, puisque les rayons de courbure sont toujours infinis à ces limites. C'est ce qui arrive dans le tore, où le plan tan* gent à la nappe intérieure coupe la surface suivant une ccHirbe fermée , dont les deux branches offrent un point multiple. Les tangentes à ces deux branches sont les traces des plans normaux limites , et ceux-ci couperont le tore suivant des courbes qui toucheront ces mêmes tangentes , avec uji contact du troisième ordre, puisque chacune sera tout entière d'un même coté de sa tangente, Voj^ez la Géométrie descriptive, ti^ 730.

324 CHAPITRF. XVII.

391 . Dans les surfaces développables , dont Féquatioii générale trouvée n** 328 , est

rt — f * = o ,

on voit que si on les rapporte aux mêmes axes que ci-^ dessus (n® 382), la condition s = o entraînera l'une de ces deux-ci , r = o ou ( = o ; de sorte que l'un des rayons principaux trouvés n^ 383 sera infini. Mais sans recourir k ces axes particuliers , la formule générale (22), dans laquelle il faudra poser g'sso , après avoir fait passer le radical au dénominateur^ donnera

d'ailleurs la formule (12) devenant ici

(v^ ces OL '\- sft ces ê }

il en résulte que toutes les sections normales auront des rayons de même signe , quel que soit l'angle a , ou bien que la surface est encore com^exe dans tous ses points. Ces résultats s'accordent avec la nature des surfaces développables dans lesquelles nous savons (n^ 274) que le plan tangent ne coupe pas , mais touche la surface tout le long de la génératrice rectiligne ; et cette droite devient la sectioft principale dont le rayon de courbure R" est maximum et infini, tandis que le rayon niinimum R' appartient à la section faite perpendiculairement à la génératrice. Toutes ces conséquences sont faciles à vérifier quand on prend pour exemple un cylindre à base quelconque.

392. Les formules (27) et (28) , qui lient entre eux les rayons de courbure des diverses sections normales,

DE LA COt/RBU&E DBS SURFACES. 3^5

présentent une analogie frappante aveo les relations qui existent entre les diamètres et les axes d'une ellipse ou d'une hyperbole. On sait, en effet, qu'en appelant a et h les demi-axes d'une ellipse, et a un demi-diamètre qui fait un angle a, ^vec le premier axe, on a, pour déter-: miner la longueur de ce diamètre, l'équation

V,=:~cm^ci-h^^^n^a,

laquelle subsiste pour l'hyperbole], en changeant b^ en — i*. Si donc on construit une courbe du second degr^ dont les axes soient tels que

fl' = R', b^ = R", on aura évidemment «'' = p ;

de sorte que si les rayons principaux sont tous deux posi-r tifs , celte courbe sera une ellipse dans laqueUe les carrés des dii^ers diamètres représenteront, d'une manière graphique , les valeurs croissantes ou décroissantes des rayons de courbure des sections normales faites dans la surface. Si au contraire R' est positif et R" négatif, l'axe b sera imaginaire, et la courbe construite sur les demiaxes a et £, toujours déterminés comme cirdessus., deviendra une hyperbole dans laquelle les demi-diamètres a\ tantôt réels, tantôt infinis, tantôt imaginaires, suivant la valeur de; a , représenteront^aussi , par leurs carrés , la grandeur et le signe des rayons de courbure des diverses sections normales (*).

39'9. La courbure d'une surface quelconque S, en chacun de ses points, peut toujours être assimilée à la

(*) On pourrait aussi formernnecourbo du. second de^vé dans laquelle les rayons vecteurs , et non pas leurs carrés, représenteraient les rayons de courbure des diverses sections normales de ia surface. £n effet, si l'on

courbure d'un ellipsoïde , ou d'un hyperboloïde gauche , dans un de leurs sommets réels. Soient en effet MZ la Fie. 43. normale de S au point en question M^ MA et MB les deux sections principales situées dans les plans rectangu* laires ZX, ZY-, et R', R" leurs rayons <Je courbure, que nous supposerons d'abord tous deux positifs. Si dans les plans ZX , ZY, nous traçons deux ellipses qui aient un axe commun MO =35^, arbitraire en longueur, mais dirigé suivant la normale , et qu'ensuite nous choisissions les deux autres axes O A' = a , OB ' = i , de manière que l'on ait

il en résultera que les ellipses MA' et MB' auront en M

• les mêmes rayons de courbure (*) que les sections MA

et MB^ et par suite elles seront oscuîatrices de ce$

rfauyerse la fQrmuIe (27), et qu^on y remplace cos a et sia a par leurs valeurs en fonction de cos a a ^ on trouvera aisément'

^~(H''-hR')-t-(B.^'-R'')co82«' puis, si l^o^n pose - (

' R''.+.R'--2a, R"-R'r=2c, d'où R*R'==û« — c%

\\ viendra '

, tf* — r»

>-4-c.jq98 2q:

équation polaire d'une section conique dont les domi^^ee 90fit ««et

h=ya* — c*, et dont les rayons vecteurs, partis do. foy^, seront les longueurs des divers rayons de courbure; mais il faut bien observer que chacun de ces rayons vecteurs devra former avec Taxe 2a, un angle double de celui que comprennent les plans de p et de R'.

(*) On sait qu^au sommet d'une courbe du second degré le rayon de eourbure est éçal au éemi-pairam^re , cVst^è*dtre au. carr^ du demi-axe parallèle à la tangente en. ce aomoiet, divisé pup le defliti-iaxe qui al>otttit à ce point. < • . ,

courbes , c'est-à-dire qu'elles auront avec ces sections un contact du deuxième ordre. Or, ces deux dlipses déter- - minent complètement un ellipsoïde S' dont les demi-axes sont OA', OB', OM, et qui sera dit osculâtéàr de la sur^ face S, parce que lout plan normal ZMX' coupera ces deux surfaces suh^ant deux courbes MN et MN', qui seront osculatrices entre elles, ou Irien qui aur<Mit le même rayon de courbure.

Pour démontrer cette proposition , il faut remarquer que la section MN' sera une ellipse ayant pour axes OM cr c et ON' = a\ et que , d'après la note précédente , le rayon

de courbure au sommet M sera p' = — ; mais a est un

demi-diamètre de l'ellipse A'N'B', lequel est lié à'rec les

axes par la relation déjà citée

-7- = -: ces» a -4* t: sm* a;

et puisque Ton a, par tout ce qui précède,.

î'^^fl'»'

» îl ••(••I

la relation ci-dessu» devient

or , en la comparant avec la formule (27) cfuî donné le rayon de courbure de la section MN, savoir,

r = n"'''^* *"^ ^/Sïn'«»

on en condut^e p = p\ c*esi-à-<lîre qtielessections MN et M'N', faîtes dans les suif aeès 8 et S^, étmt o^odlatrioes l'une de Pâ'utre , ^bur une mém?é valeur de l'angle a. Par

3â8 CHAPITRE xvn. ^

conséquent , la forme bien connue de Tellipsoïde S' aux environs de son sommet M , pourra servir à donner unje idée exaete de la courbure de la surface S autour de ce point; seulement il faudra se rappeler que quand le point M variera sur la surface S, Tellipsoïde osculateur changera lui-même , puisque ses axes dépendept des rayons principaux au point que Ton considère.

394. Si maintenant on suppose le rayon principal R' positif, et R" négatif, les axes de la surface osculatrice S devant toujours être déterminas par les conditions

en continuant de prfenijre MO==c positif^ on voit que a sera réel et b imaginaire : par conséquent l'ellipse MB' se changera en une hyperbole tangente à MY, mais située au-dessous de cette droite, et la surface osculatrice S' deviendra un hyperboloïde gauche, dont l'ellipse de gorge sera MA'. Dut reste , Tidentilé des rayons de courtbure p et p relatifs à deux sections MN et MN', faites par un même plan dans la, surface S et dans l'hyperboloïde S', se démontrera comme ci-dessus, puisqu'il suffira de changer partout les signes dé 'R'^ 'et de ô', et que la courbe A'N'B', qui deviendra une hyperbole dont l'axe réel sera OA' et l'axe imaginaire 0®', ofirira encore entre pe§j5i]ft^jS[ ejlijle 4î?inètre ON' =r ^\ réel ou imagii^aire , la relation , .. . ' ;•• >.

II 1 . i

Ainsi , cet hyperboloïde gauche sera osculateur de la êurfac^ S-/?o/>.GW^«Jçe>;.et;;;^qnàera pajç,,!^: çp,\y*^^ de son sQmmeO: une idjée e)i;a^^ de la. fprjx^qdç cjçlte surface dans les enyifqns 4if;ppiMt.M.. Jf pus n>vonSj pi^ effec^uç

DE LA COUftBQRK DES^ SVEFACES. 3^9

ici ces €onstructioii6 ^ mais on les trouvera développées avec détail ^sais la Géométrie descriptive, n^ 698.

395. Lorsque ia surface sera développable , un des deux rayons principaux , R" par exemple , sera infini (n^ 391) ; et alors Taxe b devenant aussi infini, Teilipse MB' se changera en deux droites parallèles à MY , de sorte que la surface du deuxième degré osculatrice de S, deviendra un cjràndre ayant pour section droite Téllipse MA'. Toutefois, cecylîndk*e, quoique tangent à S tout le long de la ^ériéramoe rectiligne, ne sera oscillateur qu'au point M.

396. Nous ferons observer aussi que» dans le n** 393 on aurait pu employer pour surfstce osculatrice, uto hyperboloïde à deux nappes ou un paraboloïde elliptique, puis^ que ces surfaces sont com^exes comme rellipsœde 5 et dans le n° 394-, l'hyperboloïde gauche aurait pu. être remplacé par un paraboloïde hyperbolique *, mais nous nous sommes bornés à employer, parmi ces cinq surfaces, les deux principales dont la forme est plus facile à se représenter.

En général, deux surfaces quelconques S et S' sont osculatrices en un point M où la normi^e est commune , lorsque toutes les sections normales sont respectivement osculatrices. Or ^ pour cela, il suffit que les deux sections prîncipalési de S soiçnt dans le^ mêmes plans et aîettt le^

mêmes raydhis de courbure ique les sections principales de S^:^ ou' bien, cpie trois sections normales quelcon-^ ques de S se trouvent osculatrices des se^tioas faîtes dans S' par les mè^mes plans normaux ; car il résulte évidemment de la formule (27) et des calculs indiqués au n® 383 , qu'alors tout aùti*e plan normal coupera S et &' suivant deux courbes qui auront aussi le mèmerayoïk de courbure, et; qui 5^rc(nt.p^ conséquent 05CM/larnce5 l'une de l'autre r " '

33o CHAPlTKl! XVII.

Cette définition des surfaces osculatrices équivaut , d'après la formule g^érale (12), à exiger comme conditions analytiques, que l'ordonnée z et les dérivées p^ q^ r, 5, f, aient des valeurs égales dans les équations des deujs: surfaces, lorsqu'on y substitue les coordonnées a: et j^ du point considéré. '

397. Des ombilics. On nomme ainsi un point d'une surface pour lequel toutea Jies sections normales ont la même courbure , ce qui exige (n** 386) que pour un td point , les deux rayons principaux soient égaux en grandeur et en signe» Il est donc nécessaire et suffisant que le radical de la formule (22) soit nul, c'est^àniiTe que l'on ait h* — igk^ =: o, ou bien

(29) [(n-<^)r- .j^^5-h(n-;5»)f]* — 4(rf — j«)(ilf-;7«-HV') = OÎ

mais cette condition se partagera toujours en deux autres, comme il est arrivé [déjà dans le ç^s particulier du n^ 386. En effet, si l'on développe le carré indiqué, en ne laissant dans le premier membre que la quantité

et que l'on" retranche' des deux, membres de la nouvelle équation, quatre fois le produit des deux termes de ce bii^Ome, if on pourra écrire la relation (29) sous la forme

pms, si Toii pose ' . » .

(3i) ' (i ^'?)s-pqr^'% '■ , '' ^

cPoùFon' déduit y einéUminaflDt s\ js'-:j-.

DE LA COtmBtTRE DES SITUPACRS. 33 1

alors l'équation {3o) deriendpa

(34) [(i +/^) V - (i -h q')Vy -\- 4>yUV = o,

qui , en développant le carré ^ peut être éfsrite aiusi

(35) [(..-..y-(ii£;ti^)u]Vi^^;i^

Or, sous cette forme , on voit clairemeiit qu'on ne peut y satisfaire qu'en posant à la fois U =3 o et V = o , c'està-dire

(36) (I -h p')s— pqr = o,

(3?) (• -H,?'}^ - pqt - o;

car on ne doit pas dierdier à véFifier.n'éi|itation^35):en rendant ne«/A?5 où infinies les quantités p et '47,. .puisque ces hypotltèses ne feraient qu'exprinner une inclinaôson particulière du plan tangent sur les plans coordonnés , sans avoir aucune influence sur la* courbure de la surface dans les points auxquels on serait conduit par ce moyen. 398. Nous avons imité ici la marche de M, Poisson , parce qu'elle offre l'occasion de prouver généralement que les racines dçs équations (ai) et (a3|) sont tovLJO|;^$ réelles 5 car les radicaux que produit la résolution de ces équatîops, renfern^ent préqji^éij^ent les deux polynômes (P'9) (5t(3p),,éfiui valent^ entpç ewç, çt qui vienlient d'être r^i^ç^ 4. Ja forme (35^ .composé^ dç deu^x carrés.

-M^î|J?Wr^Wy^r aujSj ççi^tio»^!^, ==?:}? .et V = 9, il suffisait, ;d'ex}i)iûaer dii'ecterjwnt quç , d^n^ un ojnbilic , tous les rcQ[p^s des caurburç dç^ s^Çtiqr^s^^n^nnales spr^t 4g^U^.€mrçreùa;j cp.^i.d|içvi^la.cilefai.çaftani^^ la foraiuli^ géf^/Stlfi ' tronv ée, n° ^74 , ; , , j j ^ ^

/•H- ^tm H^ tm'*'

332 CHAPITEE XVll.

puisqu^il suffit d'écrire que le second membre est indépendant de la quantité m, qui varie s^sie quand le plan sécant normal tourne autour du point considéré sur la surface. Or, pour cela, il est nécessaire et suffisant que les coefficients de chaque puissance de m aient entre eux le même rapport, ce qui donne les dçux équations

(38) L±^ = Pl=l±^,

lesquelles coïncident évidemment avec les conditions (36)

et (37). , / .

399. Remarquons d'ailleurs que l'équation (aS) , qui détermine généralement la dirècticm dies sections principales en un point donné, devieni: totalement identique quand la double condition (38) içst, vérifiée pour. ce point : résultat auquel on parvient aussi en observant que , d'après les relations (3i), (3 2) et (33), cette équation (23) peut s'écrire sous \a. forme suivante 9 qui nous sera , utile plus tard,

(3q) V -h -f ^ 'i--L > ■.. . . y . -^ I jl -^ u = o;

et çoinmé pour lin o'mliilîc , on a toujours U = o et V = o, il en faut conclure qu'alors là direction des sections de courbure rriaximùm et'de càttrllttre minimum demeure toùlçmeht m^tèfêrmirièè. *Ëil' èffi^,' autour d'Un Ifel |)OÎnl, toutes lés sections" nofniklës ayant la^ même courbure, chacune peut* être|çlîte iirùe sèciioH principale', '

4OO. De celte fUsciisfeîo^ il i^ésuUë' que j pour trouver si une surface donnée F (x^y^ ^') ri± ô admet des ^mbificSy' î^ faut y après», avoir déduit de cette équation les expressions »de p^ ^, r, 5 , Jf en fonction de x';- X^ z ^' poser

les deux conditions

(38) l±X^Pl = L±JL

puis, en les joignant à F (or, j^, z) == o , chercher si le système de ces troîs équations finies , admet des valeurs réelles pour les coordonnées or, y, s. On voit par là qu'il n'y aura, en général, qu'un nombre limité d^ombilics sur une surface donnée.

401. Cependant, si les deux équations (38) se réduisaient à une seule vi^aiment di^ncte, alors cette équation,» jointe à F (oc, J'y z) = o, déterminerait sur la surface donnée une courbe dont chaque point serait un ombilic, et qui est nommée la ligne des courbures sphériques, parce que dans chaciui de ces points, la surface offrirait une courbure uniforme, comme celle d'une sphère.

402. Mais si, au lieu de donner l'équation F (x^y^ z) = o, on demandait quelle est la surface dont chaque point est un ombilic y c'est-à-dire pour chaque point de laquelle les deux rayons principaux sont égaux entre eux , sans rien préjuger sur leur variation d'un point à un autre de celte surface , il faudrait alors trouver une fonction inconnue z ==zf(x>^y) qui fût telle que ses dérivées du premier et du second ordre vérifiassent les relations (36) et (37). Or, en se rappelant la signification de ces dérivées (n° 368), on voit que les équations (36) et (37) peuvent être écrites sous la forme

p dp i dq g dq l dp

l-\-p^dx q dx* x-^-q^dy p dy

alors elles peuvent s'intégrer (*) comme des équations

{^) Cette marche, plus simple que celle de Monge, est tirée du Mémoire de M. Poisson.

334 CHAPITaR XVII.

différentielles ordinaires , pourvu qu on remplace les constantes arbitraires par une fonction Y de y dans la première , et par une fonction X de a: dans la seconde , ce qui conduira à

d'où Ton déduit

Mais les quantités p et q doivent ^ pai* leur nature , sa»

tisfaire à la condition -^ = -^ qui devient ici

dy dx ^

i dX i dY .

^dx l dr ^

or, quelles que soient les fonctions X et Y, cette égalité est de la forme <f (x) = ^ (y) , et elle ne peut subsister pour toutes les valeurs de x et de j^ qui sont des variables indépendantes, qu'autant que chaque membre se réduira à une même constante aiii traire. Représentons-

la donc par ^ , pour la commodité des calculs , et nous aurons ainsi

dH 2dx dY 2.dy

d'où Ton déduit par l'intégration, et en appelant aeti deux nouvelles constantes arbitraires ,

\/i-+-x v^TTy

De là nous pouvons tirer les valeurs de X et Y pour les

DE LA COUftBURE 1>ES SURFACES. ' 335

substituer dans celles de p et ^|qui deviendront

a — X h — jr

et enfin, ces dernières, substituées dans la relation dz = pdy + jcjdoQ^ rendront le second membre une différentielle exacte , de sorte qu'une nouvelle intégration donnera

{x — af 4- [y — bf 4- (z — c)= = ^%

ce qui représente une sphère dont le rayon et le centre sont arbitraires.

U est démontré par-là que la sphère est la seule surface qui offre une courbure uniforme tout autour de chaque normale \ et que de cette propriété résulte aussi l'invariabilité de la courbure en passant d'un point à un

autre de la surface.

403. Des lighes ns courbure. Monge a nommé ainsi la suite des points d'une surface pour lesqtiels les normales infiniment voisines se rencontrent consécutivement ^ et il existe sur toute surface deux séries de pareilles lignes, comme le calcul va le faire voir. Soit, en ^îJffet,

Féqualion d'une] surface'^ rapportée à des axes rectangulaires quelconques , et M un point de cette ^surface dont les coordonnées sont a:, y, z-^ si nous menons en ce Fie. 46» point Lia normale MG, elle aura (n'' 270) pour équations

La normale^menée en un^jpoint M' infiniment voisin du preiaier,^s'obtiendra en changeant, dans les équations

précédentes, x^y, z en x + dx, y "+" ^^ ^ "+" ^^5 pai' conséquent cette seconde normale aura des équations de la forme

(A) -f- d{K) = o, (B) 4- rf(B) = o ;

et s'il s'agit, comme ici , de trouver le point de rencontre de ces deux normales , il faudra prendre simultanément les quatre équations précédentes, dont Tensemble se réduit évidemment à

(A) = o, (B) i= o, d{k) = o , rf<B) = o.

Développons donc les deux dernières , qui indiquent des différentielles relatives aux seules coordonnées x, y^ z, de la surface , et nous aurons

(D) djr -\- qdz ^ [z' — z)dq'y

ainsi les coordonnées x\ y\ z\ du point commun aux deux normales, seront fournies par la combinaison des quatre équations (A), (B), (C), (D). Or, puisque le nombre de ces équations surpasse celui des inconnues x\ y\ z\ il faut en conclure que les deux normales ne se couperont pas , quelque rapproché que soit le point M' du point M, à moins que ce point M' ne soit choisi de manière à vérifier réquation de condition que fournira le système (A), (B), (C), (D), par l'élimination des inconnues x\y\ z\ On obtient aisément cette condition, puisque (C) et (D) ne renferment que ^'^ et en éliminant entre elles le binôme z' — z. il viendra

(E) (dx -h pdz) dq = {dy -f- qdz) dp ,

qui , en y substituant les relations connues (n° 368) dz = pdx 4- qdy^ dp = rdx -h sdy^ dq = sdx -h tdy,

DE LA COURBURR DKS SURFACES. SS^

pourra être ordonnée ainsi i

404». Cette équation (E) ou (E') est dite V équation différentielle des lignes de courbure j parce que les quantités je?, ^, r, 5, f , étant des fonctions connues des coordonnées x^jr^.z^àn point donné M (fig^ 46)9 elle établit une dépendance entre les accroissements //jc = PS , dy = P'S, qui servent à fixer le point M' 5 et puisqu'elle assigne , non la grandeur absolue de ces accroissements , mais la valeur du rapport

g=taDgP'PS,

on peut dii'e qu'elle fait connaître, en projection sur le plan des (x, j^), suivant quelle direction PP' il faut passer du point M de la «surface à un point infiniment voisin M', pour que les deux normales se rencontrent. D'ailleurs, cette équation (E') étant du second degré, il Tiy a donc en général que deux directions MM' et MM'', pour lesquelles la rencontre des normales voisines ait Heu effectivement.

Cela posé, en partant du point M' i^fig* 5a), il y aura Fie. 5i. de même deux points voisins N ' et Q dont les normales rencontreront celle de M'^ si donc on conserve seulement celui des deux, N', qui est dans le même sens que M et M', et qu'ensuite on cherche encore, dans le même sens , le point voisin dont la normale coupera celle de N', on obtiendra, en continuant' ainsi, une première ligne de courbure MM'N'D' de la surface. La seconde ligne de courbure relative au même point M , s'obtiendra d'une

338 CHAPITEE XVII.

manière semblable, et sera MM"N"D"5 puis, comme ces constructions peuvent se répéter pour chaque point G , H , . . . , on formera ainsi deux séries de lignes de courbure qui partageront la surface en quadrilatères curvilignes et infiniment petits, dont les côtés se couperont toujours à angles droits dans V espace.

405. Cette perpendicularité entre les lignes de courbure pourrait se démontrer en rendant, comme au n® 381 , le plan des {x^y) parallèle au plan tangent de la surface

FiG. 46. pour le point M (Jîg» 46) : mais il vaut encore mieux observer que l'équation (E') est entièrement identique avec Téquation (23) qui détermine la direction des deux sections principales MA et MB 5 car il résulte de là , i® qu'en chaque point M d'une surface , les lignes de courbure MM'iy et MM"D" sont tangentes aux sections principales MA et MB; 2° que ces dernières ayant leurs tangentes ou leurs éléments MM' et MM" perpendiculaires l'un sur l'autre (n° 38i), il arrive aussi que les lignes de courbure MD' et MO' se coupent à^angles droits. Cependant , il ne faut pas croire que ces lignes coïncideront généralement , dans toute leur étendue , avec les courbes planes MA et MB 5 parce qu'une fois arrivée au point M' de la surface , M'A ne sera plus ordinairement une section principale pour ce point 5 de sorte que les lignes de courbure MM'D' etMM"D^ feront en général des courbes gauches.

406. Avant d'aller plus loin, éclaircissons cette théorie par quelques exemples. Dans une surface de révolution,

F16. 47. le méridien MA est évidemment une première ligne de courbure^ puisque les normales MG , M'G, ... de la surface en M, M', . . . sont tdutes situées (n°301) dans le plan de ce méridien , et par conséquent ne peuvent manquer de se rencontrer. D'ailleurs , cette courbe méridienne

DE LA COmiBUllE DES SURFACES. 339

MM' D'À est aussi u,ie section principale de ]ai surf Rce^ puisque le plan d'une telle section doit , comme nous venons de le voir, passer par la tangente MM' de la ligne de courbure et par la' normale MG \ donc ici la première ligne de courbure coïncide avec une section principale , et il en sera de même toutes les fois quune ligne de cour* bure sera plane, et que son plan renfermera la normale de la surface.

Quant à la seconde ligne de courbure, c'est évidemment le pctrallèle MM"D", car on sait que toutes les normales en M, M" y . . . aboutissent au même point H de Taxe*, maiç cette ligne de courbure, quoique plane, ne coïncide pas avec la seconde section principale MM." ^ ^ puisque celle^i doit être dans un plan mené suivant la normale MH , perpendiculairement au méridien MA, qui est la première section principale : seulement,, les lignes MM^Bet MM"D" ont une tangente commune.

407. Dans les cylindres à bases quelconques, la génératrice rectiligne et la section droite sont évidenmient les deux lignes de courbure-, et ce sont en même temps les deux sections principales , par la raison donnée cî-dessus pour le méridien. Dans d'autres surfaces, au contraire, chaque ligne de courbure est distincte des deux sections principales , comme tlans l'ellipsoïde quelconque dont leâ lignes de courbure se prêtent à des constructions élégantes, que nous ferons connaître bientôt (n° 426). Pour les surfaces développables et les surfaces gauches, on pourra consulter la Géométrie descriptwe, n^710.

408. Calculons maintenant les portions MG et MH de Fig. 4^^. la normale , comprises entre le point M et ceux où elle est coupée par les deux normales voisines qui la rencontrent.

En appelant R une quelconque de ces deux distances , MG

3'4l> CHAPITRE XVII.

par exemple , .on aura

R' = (a/ — xf + (/ — xY -4- (z' — zf-,

et les coordonnées a:', j'^ z\ du point de section G seront données par les quatre équations (A), (B), (C), (D), dont les deux dernières se réduisent à une seule, en vertu de la condition (E) que nous supposons vérifiée par le point M'. Si donc , d'abord , on tire de (A) et (B) les valeurs de x' — x^y — /, il viendra

puis, on devrait substituer ici la valeur de {z' — -g), déduite de (C) ou de (D) ; mais pour que celte valeur convienne à la fois aux deux lignes de courbure , et par conséquent aux deux points G et H, il faut auparavant

éliminer entre les équations (C) et (D), la quantité -^

qui n'est pas la même pour ces deux lignes. Or, si Ton substitue les expressions déjà citées

dzzzzpdx-hjqdjr^ dp=rdjc-^sdf, dq=zsdx-^tdy^

dans les équations (C) et (D), celles-ci pourront être ordonnées de la manière suivante :

(GO [i -4- />'-(«' — z)r]^ = [(z' — z)5—/?^]flrr, (ly) [l ^ q^ -^ {z' --•z)t]dx = [{z' —z)s -- pq]dXy

alors, pour éliminer dx et Jy^ il suffit de les multiplier membre à membre , et il vient

(F) {z'^zy{rt--s^) — {z'—z)[{i-\-q^)r^7,pqs-^[i-^p-')t^

C'est donc de là qu'il faudrait tirer la valeur de^' — z^ pour la substituer dans l'expression de R; du bien , si de

cette dernière on déduit la valeur de z — z^ etqu^onla porte dans (F), on trouvera pour déterminer les deux va-* leurs de R, Téquation du second degré ,

409. Les racines de cette équation , ou les portions MG et MH de la normale , sont ce que Monge a nommé les deux rayons de courbure de la surface au point M ; et nous expliquerons tout à l'heure (p? 411) le motif de cette dénomination. Mais auparavant, remarquons que Téquation (G) est entièrement identique avec réquation(ai) trouvée au n^ 379 5 d'où il résulte qu'en chaque point , les deux rayons de courbure de la surface coïncident , en grandeur et en position , avec les deux rayons de cour^ bure des sections principales,

410. Cette identité permet quelquefois de trouver grà-r phiquement , et sans aucun calcul , les rayons de courbure des deux sections principales pour un point donné sur une surface. Par exemple, dans une surface de révolution , il suit de ce que nous avons vu au n^ 406 , que les rayons de courbure des deux sections principales MA et Fie. 47^ MB, sont toujours, i*^ le rayon de courbure MG du méridien •, 2** la portion MH de la normale comprise entre

le point donné M et Taxe de révolution. Ces relations sont nécessaires^ à connaître dans certaines questions de Géométrie descriptive , qui exigent l'emploi d'une surface du second degré , osculatrice d'une surface de révolution.

411. Revenons aux surfaces quelconques ; et, parlés deux normales consécutives MG, M'G, faisons passer un Fie. 46. plan : il contiendra la section principale MA, puisque celle-ci doit toucher la ligne de courbure MM'D'; et comme

les deux normales en question sont sensiblement égales.

342 CHAPITRE XVn.

(n*' 351), la sphère qui sera décrite avec MG pour rayon , touchera la surface proposée en deux points consécutifs M et M' le long de MA* Il en sera de même de la sphère décrite avec MH = M"H pour rayon , laquelle touchera la surface aux deux points M et M" sur la section principale MB ; tandis que si , avec le rayoude cotjLrbure MI = Kl ifiS' 4^) d'une section normale quelconque MN, on décrivait une sphère , celle-ci n'aurait qu'un plan tangent de commun en M avec la surface. En effet, le second rayon Kl, qui est bien une normale commune à cette section et à la sphère correspondante , ne saurait être normal à hf, surface primitwe j puisqu'il va couper la droite MG, et qu'une telle, rencontre ne peut avoir lieu (n*'404) qu'aux seuls points M' et M''. C'est pour cela que Monge a nommé les rayons principaux rayons de courbure de la surface j en les regardant comme les rayons des deux sphères qui seules peuvent toucher la surface en deux points consécutifs.

Toutefois , il ne faut pas dire que les deux sphères décrites avec les rayons MG et MH, sont osculatrices de la surface proposée ; parce que le contact du second ordre que chacune d'elles présente avec cette surface, n'a lieu que suivant la direction MM' ou MM'', et non pas tout autour du point M, coiouie l'exigerait la définition des surfaces osculatrices , donnée au n^ 396.

412. Il faut aussi se garder de croire que MG (fig» 46) soit le rayon de courbure de la ligne MD', c'est-à-dire le rayon du cercle qui aurait avec cette ligne deux éléments communs. En effet , il est vrai que les deux droites MG et M 'G, étant normales à la surface , sont aussi telles par rapport à la courbe MD' ; mais pour que leur rencontre donnât le centre du cercle osculateur de MD', il faudrait (n^ 351 ) que ces normales fussent situées toutes deux

dan» le plan osculateur de celte courbe , ce qui n'arrivera que dans le cas particulier où MD' coïncidera avec MA , ou du moins lorsque MD' et MA auront un contact du second ordre.

Par exemple , dans une surface de révolution {fig* 47) ^ la première ligne de courbure étant confondue avec le méridien MA , contiendra dans son plan les deux nor-^ maies MG et M'G qui fourniront bien , par leur rencontre, le centre de courbure G de cette ligne MD'; tandis que la seconde ligne de courbure MD", quoique - plane , n'aura pas pour rayon de courbure la normale MH ; mais ce sera évidemment le rayon même de ce parallèle circulaire MD".

413. Si par tous les points de la ligne de courbure MM'N'D' on mène les dfverses normales à la surface, ces Fie. 5x droites, qui se rencontreront consécutivement, formeront une surface développable dont l'arête de rebroussement sera la suite des centres de la première courbure, relatifs à la ligne MM'D'. En opérant ainsi pour chaque ligne M"GHé.., N"KJj... de la même courbure, on obtiendra une série de surfaces développables dont les arêtes de rebrotissement formeront , par leur ensemble , une surface, lieu de tous les centres de la première couT" bure y et à laquelle toutes les normales seront tangentes ; mais cette surface aura une seconde nappe, lieu des centres de la seconde courbure j qui résultera dès arêtes de rebroussement produites par les normales menées le long des lignes de la seconde courbure MM'^N''..., ^ M'GK. . ., N'HL. . ., et cette seconde nappe sera aussi touchée par les mêmes normales que la première. Pour obtenir l'équation de ces deux nappes , qui sont le lieu de tous les points de section dont les coordonnées ont été désignées par x', y\ z\ dans les équations (A), (B),,

(F), il suffira évidemment d'éliminer Xy y^ z , entre ees trois équations et celle de la surface proposée.

Les deux nappes des centres de courbure sont, par rapport à la surface proposée , ce que les développées des lignes .courbes sont par rapport à celles-ci 5 et ces nappes offrent encore diverses propriétés remarquables , sur les-, quelles on pourra consulter le livre YIII de notre Traité de Géométrie descriptwe. Nous ajouterons seulement ici que quand ces deux nappes se couperont , leur intersection sera évidemment le lieu des centres relatifs à la ligne des courbures sphérigues, dont nous avons parlé au nMOl.

414. Lorsque le point M considéré sur une surface, quelconque, sera un ombilic (n° 397), Téquation (E') des lignes *de courbure relatives 'à ce point, • prendra la forme 0=0, comme il est déjà arrivé (n° 399) pour Téquation (23 ) avec laquelle (E') coïncide toujours 5 ce qui annonce que d'un ombilic , il part une infinité de lignes de courbure j eS la direction du premier élément de chacune d'elles reste arbitraire. En effet, ces lignes doivent toujours (u? 405) être tangentes aux sections principales relatives au point considéré; et dans un ombilic, toutes les sections normales sont principales (n*> 399).

415. Cependant les opinions des géomètres se sont trouvées partagées ^r cette matière. Monge y a laissé quelque obscurité, parce qu'il définit les ombilics, en plusieurs endroits, par des conditions diverses qui ne sont pas toujours une suite nécessaire les unes des autres : tantôt il les regarde comme des points où la courbure de la surface est égale dans toutes les directions , ce qui est le caractère véritable et général ; tantôt comme des points où les deux lignes de courbure viennent à coïn-

cider, circonstance qui arrive aux ombilics que nous rencontrerons sur Tellipsoïde (n^ 430), mais qui n'est plus vraie pour les points de la ligne des courbures sphérî* ques (n^ 401), ni pour d'autres ombilics isolés, tels que les sommets d'une surface de révolution.

M. Dupin (*), en partant de la première définition, est conduit à n'admettre qu'un nombre limité de lignes de courbure , pour chaque ombilic isolé ou faisant partie de la ligne des courbures sphériques. Néanmoins, dès que tous les rayons de courbure des sections normales sont égaux pour un mçme point d'une surface, celle-ci est osculée par une sphère qui a les mêmes normales que la surface primitive , tout autour de l'ombilic et à une distance infiniment petite •, d'où il suit que dans toutes les directions autour de l'ombilic , une normale infiniment voisine ira couper celle de ce point , au centre même de la sphère osculatrice 5 et par conséquent il existe ici une infinité de lignes de courbure, d'après la définition universellement admise (n** 403).

Pour concilier ces résultats , M. Poisson (** ) regarde un ombilic comme admettant une infinité de lignes de courbure, parce que dans toutes les directions autour de ce point , une normale infiniment voisine va rencontrer la première , du moins tant qu'on ne tient compte que des différentielles du premier ordre 5 mais si l'on pousse l'approximation plus loin , il y aura quelques-unes de ces directions pour lesquelles le rapprochement des normales sera plus intime que pour les autres , et ce sont ces directions particulières qui méritent alors plus spéciale-men^le nom de lignes de courbure ^ et qui se trouvent

(*) Voyez les Développements de Géométrie, 3® mémoire. (**) Voyez le Journal de V École Po'j^technitjue , ai® cahier.

en nombre fini. En nous rangeant à cette dernière opinion, nous allons chercber à Tappuyer par les calculs suivants.

416. La normale de la surface au point M (x^y^ z) a des équations qui peuvent s'écrire

celles de la normale au point projeté en j: + dx^ J^-h^y-^ seront de la foirme

A -H <3?A + I (/»A = o, A H- rfB -h yfi^'B =0,

en tenant compte des infiniment petits du seêond ordre. Mais, pour le point commun à ces deux droites, le sys-. tème de ces quatre équations revient à combiner (A) et (B) avec les suivantes

(A'') dX'{-pdz-^\pd^z-\-dpdz -|- {z — z'){dp ^^d'^p) = 0, (B'') dX'^qdz-\-\qdH-\-dqdz-\'{z — z'){dq-\'\d^q) = 0',

et la condition pour que ces deux normales se rencontrent, s'obtiendra (n^403) en éliminantes' entre (A") et (B''), ce qui donne généralement

{c) {dx -h pdz -4- \pdH 4- dpdz) {dq -f- t^'ç)"

=r [dy -f- qdz -f- \ qd'^z -f- dqdz) {dp + \ d^p).

Cela posé, si le point considéré M est quelconque, ifc faudra réduire l'équation (e) aux seuls termes de Tordra le moins élevé , ce qui conduit à

(E) [dx + pdz)dq = [dy -}- qdz) dp y

équation trouvée au n® 403 pour les lignes dQ« courbure ordinaires; mais si cepoiut M est u» ombilic, on 9ait

(n^* 414 et 399) qu'alors Téquation (E) sera identiquement vérifiée; de sorte que les infiniment petits du second ordre disparaissant d'eux-mêmes dans Téquation générale (e) , il faudra y garder tous les termes du troisième ordre , et négliger ceux du quatrième , ce qui donnera

(E") {dx -h pdz)d^q -h {pd^z -4- dpdz)dq

= (flÇy -f- qdz)d^p -h [qd^z -f- dqdz)dp.

C'est donc cette dernière équation qui , dans le cas d'un ombilic, déterminera la direction à suivre pour trouver une normale qui coupe celle du premier point; et comme en substituant ici les valeurs connues

dz = pdx H- qdy » dp = nlx 4- sdy , ,

dy . .,

l'équation (E") contiendra le rapport -^ à la troisième

puissance, il s'ensuit que, par un ombilic j il passe ordinairement UNE ou TROIS lignes de courbure; ou, plus généralement, un nombre déterminé^ parce que si l'équation (E*') se trouvait encore identique d'elle-même, il faudrait, en remontant aux équations (A") et (|B"), tenir compte des différentielles troisièmes, ce qui conduirait à

. . y dy une équation de condition où — entrerait à la quatrième

puissance, et ainsi de suite. Mais ces lignes de courbure en nombre fini, seront du genre de celles où le rapprochement des normales s'élève au delà du premier ordre , puisque dans les équations (A") et (B") nous avons tenu compte des différentielles supérieures, et que, sans cela, la rencontre des normales aurait eu lieu dans toutes les directions, attendu que l'équation (E) se trouvait vérifiée

d'elle-même , quelle que fù^ la valeur àe ---.

348 CHAPITBE XVII.

Ajoutons enfin que même le^ lignes de courbure de ce genre sont quelquefois encore en nombre infini^ comme il arrive au sommet d'une surface de révolution; et nous verrons dans le numéro suivant la raison analytique dé cette circonstance particidière.

417. Il importe d'observer que l'équation (E") , où nous avons laissé à dessein le terme dpdqdz commun aux deux membres , est précisément la différentielle de l'équati on (E), prise en regardant comme seules constantes les accroisse-. ments dx et dy des variables indépendantes. C'est pourquoi nous n'avons pas pris la peine de développer et d'or-

donner l'équation (E'')par rapport à -j- , attenduque, dans.

la pratique, et quand on trouvera que l'équatîon (E), ou plutôt l'équation (E') du n** 403, devient identique pour un point particulier , il suffira de différentier cette dernière équation par rapport à p^ q^ r, 5, /, et l'on obtien-, dra l'équivalent de (E''). De même, ai cette dernière devenait identique, il suffirait d'en prendre encore la différentielle, et ainsi de suite. Mais quand toutes ces, différentielles seront constamment nulles pour le point que l'on considère , on tombera dans le dernier cas indiqué au numéro précédent (*). Nous éclaircirons ceci par l'exemple de l'ellipsoïde, n*^ 430.

Détermination des lignes de courbure sur une surface particulière.

418. Pour obtenir, en quantitésjinies , les équations des lignes de courbure sur une surface donnée F(x, y, z) = o, on commence par déduire de cette équation les valeurs de

{*) M. Dupin était arrivé à établir ces règles, m^\^ par des considérations qui me paraissent laisser quelque chose à désirer sous le rapport de la rigueur, {Voyez page 164 des Dé\feloppemcnts de Géométrie)

Zy p^ (fy r, 5, r, en fonction de x et dej^ ^ et en les substituant dans Féquation générale (E') trouvée n^ 403 , on a l'équation différentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan des (x^j). Ensuite, il reste à intégrer ce résultat, et à déterminer la constante arbitraire qu'amène l'intégration , de manière que la courbe passe par le point donné sur la surface : mais comme , d'après la forme de l'équation différentielle (E'), cette constante arbitraire entrera au second degré dans l'intégrale, elle admettra pour chaque point de la surface deux valeurs généralement distinctes , qui correspondront aux deux lignes de courbure relatives au point donné.

419. Appliquons cette marche à relHpsoïde représenté par l'équation

en la différentiant successivement par rapport k x et kj, et jusqu'au deuxième ordre , on trouvera

valeurs qui substituées , ainsi que celle de z*, dans l'équalion (E') du n** 403 , la ramèneront à

(^a — . c») xy dy" Ua} — c^)x» {¥ — c^»)/» "1 dy

h^ia"^ h") ' dx^ "^ \a\a^ — b^) ~" b\a^ — b'') "~ ' J ^

. [a' — c')xy a^{a^^b')'~ ' et si, pour abréger, on pose

352 CHAPlTaE XVII.

nit (5) pour j et dj^ ou trouve la condition

•y — ABê

(6) A7-hB|-f.AB=o, ou7 = -^g-^.

Telle est donc la dépendance qui doit exister entre les constantes 6 et y, pour que l'équation (5) soit l'intégrale de (2)-, et par suite, une seule de ces constantes , 6 par exemple , demeure arbitraire, du moins tant qu'il ne s'agit que de satisfaire analytiquement à l'équation différentielle (2).

422. Mais, pour compléter la solution du problème de Géométrie qui nous occupe , il faut assigner le point de la surface pour lequel on cherche les lignes de courbure, et par conséquent exprimer que l'équation (5) est satisfaite par les coordonnées a:', j^' de ce point. Or, il va résulter de là une équation propre à déterminer 6, et qui fournira pour cette constante deux valeurs toujours de signes contraires : circonstance importante à vérifier, parce qu'elle annoncera que les deux lignes de courbure, relatives à un même point de l'ellipsoïde , sont toujours projetées suivant des courbes de genres opposés^ sur le plan qui contient l'axe maximum et l'axe moyen.

Substituons , en effet , dans l'équation (5) les coordonnées assignées x\ y\ ainsi que la valeur de y fournie par la relation (6), et il viendra