AB

•^ A€-hB*

d'où , en résolvant cette équation du second degré ,

, x^ Ar ^— B:p'»4-AB±: v^(Ay — B^=^-4- AB)'-4-4ABjr' V'

Or , puisque ici le terme 4AB;r'*j^'* est essentiellement

positif, la partie irrationnelle surpassera en grandeur absolue la partie rationnelle , et les deux valeiu^ de 6 seront toujours de signes contraires.

4S3. Quant à la constante y, elle sera constamment de signe opposé à 6. En effet, la valeur (6) montre d'abord que quand S est positif, y se trouve négatif; ensuite , la .valeur négative de 6, fournie par (7) et substituée dans (6), rendra toujours le dénominateur AS + B > o, car cette condition revient à celle-ci

ou bien

Ay^ -h Rc'^ -H AB> X/iAf -h Br" -f. AB)' — 4AB V%

laquelle sera toujours satisfaite d'elle-même. Ainsi, lorsqpe 6 sera négatif, y se trouvera positif, et réciproquement.

424. Nous conclurons de là que , pour chaque point M de Tellipsoïde , les projections des lignes de courbure sont représentées par deux équations de la forme

7» = — 6' jp« 4- y',

et qu'ainsi la première de ces lignes se projette suivant ^'®' ^^• une ellipse MM'D', la deuxième suivant une hyperbole MM"D", qui sont concentriques avec l'ellipse principale AB, et dont les axes coïncident en direction avec ceux de cette courbe. On calculerait ces axes, pour chaque point de l'ellipsoïde, par les formules (7) et (6) ; mais au lieu de nous arrêter à ces détails, étudions les rapports intéressants qui lient entre elles les diverses lignes de courbure d'une même série.