Puisque les constantes 6 et y sont toujours de
354 GHAPiTaE xvn.
signes exposés, et que la dernière, y, acquiert en chaque point de rellipsoïde une valeur positive pour la première série de lignes de courbure , et une valeur négative pour la deuxième série , nous pourrons donc , en introduisant deux nouvelles constantes plus commodes, poser
/e 5igfne5i/^én:e2ir ayant toujours lieu, pour les lignes de courbure elliptiques en projection; puis, en substituant dans Féquation générale (5), les valeurs de ë et de y en fonction de m et de n, il viendra pour Féquation des deux séries de lignes de courbure ,
OÙ Ton reconnaît que m et n sont les deux demi<axps de chaque courbe.
Mais si Ton substitue aussi les expressions de S et de y dans la condition (6), on obtiendra , entre m et n , la relation fort remarquable
OÙ le signe supérieur se rapporte encore aux lignes de courbure elliptiques ; ce qui prouve que les deux quantités m et n , constantes pour une même ligne de courbure, dont elles sont les demi-axes, et variables d'une ligne à l'autre de la même série , ont toujours pour grandeurs simultanées, les deux coordonnées d'un point pris arbitrairement, sur une hyperbole ou sur une ellipse auxiliaires, dont les demi-axes communs et invariables sont y A
suivant OX, et V^B suivant OY : ce dernier est Taxe imaginaire de l'hyperbole.
426. De là résulte la construction suivante. On por- Fu.. 52 tera sur les axes de Tellipse principale ABA'B', deux distances Occ et OS déterminées par les équations
Ces distances se construiront aisément au moyen des excentricités des trois ellipses principales , et la première Oa se trouvera toujours plus petite que a , puisqu'on a admis les relations a >> £ ^ c. Ensuite , sur les deux droites Oa et OS, prises comme demi-axes, on construira, 1^ une hyperbole auxiliaire aP'Q' dont les sommets réels soient sur OX ^ 2® une ellipse auxiliaire aP'S. Cela posé, en abaissant d'un point quelconque P' de cette hyperbole les coordonnées F' F/ et P'D'', puis en construisant sur leurs égales OD' et OE^ comme demi-axes, une ellipse E'MD', ce sera la projection d'une des lignes de courbure de la première série \ les autres s'obtiendroi9(t semblablement par les deux coordonnées de chaque point de Thyperbole auxiliaire.
Quant aux lignes de courbure hyperboliques, on abaissera les coordonnées V'E" et P'D'' d'un point quelconque de Tellipse auxiliaire , et sur leurs égales OD" et OE", comme demi-axes, on construira une hyperbole D"M, dont les sommets réels soient sur OX*, cette hyperbole D"M, et toutes celles qu'on obtiendra semblablçmént avec les deux coordonnées de chaque point de l'ellipse auxiliaire , seront les projections des lignes de courbure de la seconde série.
427. Examinons maintenant les variations qu'éprouvent les lignes de courbure de la première série , lorsque
le sommet E' s'avance de O vers B, Quand il est en > l'ordonnée de Thyperbole auxiliaire ocVC^ est nulle : ainsi Fellipse de courbure lyME' a alors son petit axe nul, et son demi-grand axe égal à Oa, c'est-à-dire que cette ellipse se réduit à la droite a'Oa ; et par conséquent la section principale de Tellipsoïde , qui contient les axes a et c , est elle-même ime ligne de courbure de la surface , ce qu'on pouvait prévoir, puisque les diverses normales de la surface , menées le long de cette section , sont évidemment toutes dans son plan. A mesure que le point E' s'éloigne de O, les deux axes de Tellipse de courbure augmentent, jusqu'à ce qu'elle coïncide avec la section principale A6 ; car si dans l'équation (lo) on pose m = a , on trouvera n=i. U est donc inutile d'employer des points de l'hyperbole auxiliaire situés au delà de Q\ puisqu'ils fourniraient des ellipses qui embrasseraient totalement ABA', et ne pourraient recevoir la projection d'aucun point réel de l'ellipsoïde : restriction qui s'explique en observant que l'équation (9) ou (5) ne détermine point par elle seule une ligne de courbure dans l'espace ; mais qu'il faut toujours la combiner avec l'équation de la surface , et n'admettre que les solutions qui leur sont communes.
Quant aux lignes de courbure qui se projettent suivant des hyperboles, D"M, on voit que si le sommet D" vient enO, les deux coordonnées de l'ellipse auxiliaire aV'S sont ar = o, ^ = OS; de sorte que l'hyperbole qui reçoit alors la projection de la ligne de courbure se réduit à la droite BOB', et cette ligne de courbure dans l'espace coïncide avec la section principale de l'ellipsoïde qui contient les axes i et c. Lorsque D" s'éloigne de O, l'axe imaginait^ de l'hyperbole diminue, tandis que son axe réel augmente 5 et quand enfin le point D" arrive en a ,
Vaxe imaginaire devient nul, et l'hyperbole se réduit aux deux portions rectilignes a A, ah\ qui complètent la ligne de courbure déjà fournie par la première série , et projetée sur la portion de droite aOa',
428. Si le sommet D'' continuait à se mouvoir à droite de a, et venait en D\ les lignes de courbure, qui jusque alors avaient été hyperboliques en projection, deviendraient elliptiques, puisque l'ordonnée élevée en D' rencontrerait, non plus l'ellipse aV&^ mais l'hyperbole auxiliaire aPQ'; d'ailleurs, lorsque dans l'équation (lo)
on prend m plus grand que Oa = y A , il faut bien néces-
sairement adopter le signe négatif pour le terme ~ *, ainsi
c'est une hyperbole qui détermine alors la valeur correspondante de n. On voit par là qu'il existe sur l'ellipsoïde quatre points projetés en a et a', autour desquels les lignes de courbure des deux séries sont pliées en sens contraires, et où eUes viennent se confondre, pour se succéder ensuite les unes aux autres.
429. Ces quatre points sont des ombilics (n** 397), c'est-à-dire des points autour desquels toutes les sections normales ont la même courbure. En effet, puisque les conditions U=o et V = o, qui caractérisent les ombilics, rendent toujours identique (p? 399) l'équation différentielle des lignes de courbure , nous trouverons immédiatement ces points singuliers , en égalant à zéro les trois coefficients de l'équation (2) du n° 419, ce qui donne les conditions simultanées
d?j = o et Bx' — A7' — AB = o.
Or, l'hypothèse x = o ne conduisant ici qu'à des valeurs imaginaires pour j^ il ne reste que les solutions
y z=z o et o? =: ± \/a,
lesquelles correspondent bien aux deux points a et a' sur le plan des (j:, jr).
430. Pour chacun de ces quatre ombilics, les deux lignes de courbure paraissent se réduire à une seule , qui est Tellipse verticale projetée sûr AA\ ainsi qu'il résulte delà discussion graphique (n? 428)^ et l'analyse nous conduira au même résultat. En effet , ptiisqne a est un ombilic qui rend identique Féquation générale
(2) Axr (^y +(Bx»- Ar'«-AB)^ -Bxr= o,
il n'y a qu'à employer ici la méthode que nous avons donnée au n^ 417, et différentier l'équation (2) en laissant-^ constant. On trouve ainsi, après avoir ordonne,
équation qui , pour les ombilics où l'on, a
y = et x= yAy se décompose dans les deux suivantes
Br = o,
iw
dx
or, la seconde n'admet que des racines imaginaires, et la première a pour intégrale générale ^=X ; mais en déterminant la constante arbitraire X de sorte que cette ligne passe par l'ombilic , il restey =0 qui représente bien l'ellipse verticale projetée sur AA'.
431 . n n'est pas inutile d'observer que toutes les lignes de courbure de l'ellipsoïde sont des courbes formées , quoique quelques-unes soient projetées sur des portions
d'hyperbole, telles que RiyS; c'est qu'alors la courbe s'étend au-dessous du plan XY, et passe par des points qui se confondent en projection avec ceux de la partie supérieure.
Des circonstances putes semblables se reproduiraient si l'on avait projeté ces lignes de courbure sur le plan qui contient Vaxe minimwn et Vaxe moyen de l'ellipsoïde ^ car il suffirait d'introduire dans l'équation (a) les r dations
lesquelles laissent toujours positii^es les constantes A et B , et par suite , mèneront aux mêmes conséquences sur la forme elliptique et hyperbolique des projections des deux séries de lignes de courbure.
432. Voyons maintenant quelle forme prendront ces lignes, en se projetant sur le plan qui contient Vaxe ma* ximum et Vaxe minimum de l'ellipsoïde {^fig* 53). Il suffit , pour rendre l'équation (2) applicable à ce cas , d'y introduire les relations
et comme alors la constante B (n^ 419) devient négative , nous poserons
11 — Xkf — y / A — A' — ^ /
ce qui conduira , conmie au n? 420 , à l'intégrale
(il) j*=6x>-4-7,
avec ime condition analogue à (6), savoir :
mais ici la constante arbitraire è ne pourra recevoir que
36o <::hapitre xvn.
des valeurs négatives. En effet, l'équation (7) devient alors
- A'y*-t- W x"— A' B' ± \/(A'r"-+- B' r'*— A'B' )' — 4 A' B' x' V* ^= ^ÂJI^^ '
et puisque la partie rationnelle surpasse numériquement la grandeur absolue du radical, ces deux valeurs de S seront toujours à la fois de même signe j pour un même point (x\ y) de Tellipsoïde. En outre , comme tous les points de cette ^surface seront nécessairem^it projetés FiG. 53. en dedans de l'ellipse a'P'.ê', qui serait construite sur les demi-axes.
Oa' =r ^/a' == a ^ ^
puisque ces demi-axes, sont évidemment plus grands que OA = a etOC= 5, il en résulte que pour tous les points de rellipsoïde , on aura constamment
d'où je conclus que toutes les valeurs^ de 6 seront négaftVe^,* et, d'après la relation (12), y n'aura, au contraire, que des valeurs po5zftVe^ ; de sorte que l'intégrale (11) représentera toujours des ellipses, sur lesquelles se projetteront ici toutes les lignes de courbure des deux séries. D'ailleurs ,. en posant
l'équation (11) commune aux deux séries de lignes de courbure deviendra
DE LA. COURBURE DES SURFACES. 36l
et les demi-axes iw, n,.de chacune de ces lignes, seront liés par la relation (12), qui devient
d'où Ton voit que ces demi-axes se trouveront ici les deux coordonnées d'un même point variable , toujours situé sur une ellipse auxiliaire a'P'P"6', construite avec les demiaxes \[K et v^B^.
433. Lorsqu'on prendra sur cette ellipse auxiliaire un point P' voisin du sommet «', les deux coordonnées P'E' et P'D/ donneront les axes d'une ellipse D'ME', Fig. 53. projection d'une ligne de courbure de la première série. Cette ellipse , d'abord très-resserrée , s'ouvrira de plus en
plus dans le sens du petit axe , tandis que son grand axe diminuera , et elle finira par coïncider avec l'ellipse principale AC quand le point P' sera venu en Q; car, si dans l'équatioil (i4) on pose m = a, on trouve n= b : ainsi la portion oc'Q de l'ellipse auxiliaire aura donné toutes les lignes de courbure de la première série. Au delà , un point tel que P" fournira, par ses coordonnées, les demi-axes d'une ellipse D"ME'', qui appartiendra à la seconde série des lignes de courbure , puisqu'elle coupera en M la ligne E'MD' de la première série 5 et ces nouvelles ellipses se rétréciront de plus en plus dans le sens des X , pour se réduire enfin à la droite COC, projection d'une section principale, qui est elle-même une ligne de courbure de l'ellipsoïde.
434. Dans l'intégration de l'équation (2), nous avons négligé (n** 420) le facteur
kdy- -h ^dx" = 0,
qui ne pouvait alors donner aucune solution réelle; mais,
pour la projection actuelle où B.= — B' et A = A', on
en tire
dx VA'
et si l'on substitue cette valeur dans l'équation proposée (2), il viendra
Ay 4- B'x* ± nxy )/Â^ = A'B';
équation finie, sans constante arbitraire, qui , comme on sait, est une solution singulière de la proposée, et doit représenter la ligne enveloppe de toutes les intégrales particulières. En effet , cette équation se décompose ainsi
et comme les doubles signes sont indépendants, cela fournît quatre droites^ que l'on reconnaît aisément pour les cordes supplémentaires qui passent par les- sommets de
l'ellipse auxiliaire a'P'P"o'^ dont les demi-axes sont vA^
et \/B'. Ces quatre cordes touchent donc toutes les ellipses suivant lesquelles se projettent les lignes de courbure \ et comme une de celles-ci est l'ellipse principale AC , cette courbe est aussi touchée par. les quatre cordes , précisément aux ombilics <«) , a)\ w", &)'!', où les lignes de coui^ bure des deux séries viennent se confondre.
Au surplus, on arriverait aussi à ces quatre droites , en cherchant, d'après la méthode exposée (n^ 340), la ligne enveloppe de toutes les ellipses représentées par l'équation
laquelle se déduit de (i3) et (i4) , et où le paramètre arbi traire est m.
OE LA crOURBU&E DES SURFACES. 363
435. Observons , en terminant cette théorie , que quand on a déjà construit (n^ 426) les lignes de courbure d'un ellipsoïde donné , projetées sur le plan qui renferme Taxe maximum 2 a et l'axe moyen 2 6 , et que Ton veut ensuite construire, pour ce même ellipsoïde , la projection des lignes de courbure sur le plan qui contient le plus grand et le plus petit axe , il serait peu commode de changer la dénomination de Taxe moyen, comme nous Tavons fait (n** 432). Il vaudra mieux alors conserver toujours les relations
mais dans les valeurs de A' et de B' changer b en c et c en i 5 de sorte que dans la Jîg. 53 , l'ellipse principale aura pour demi-axes
OA = a, OC = c,
et les grandeurs des demi-axes de l'ellipse auxiliaire a ' P' ê ', seront
Oê
par là ces valeurs pourront exister simultanément avec celles de A et de B (n^ 426), qui se rapporent au plan de l'axè maximum et de Taxe moyen.
436. Remarquons enfin que pour trouver les deux lignes de courbure relatives à un point assigné M de l'ellipsoïde {fig' ^2), il faudrait substituer les coordonnées x\ y' àe ce poiht dans l'équation (9), laquejle, jointe alors avec l'équation (10), suffirait pour calculer ies axes de l'ellipse MD' et de l'hyperbole MD". Mais si , comme dans le tracé d'une voûte en ellipsoïde, le point
assigné était en S sur TcUipse de ia naissance AB'A'^ on pourrait employer une solution graphique fort simple, pour laquelle nous renverrons à ]a 'Géométrie descriptii^e^ n«743.
Des courbes de niveau et des lignes de plus grande pente,
437. Ce sont des lignes remarquables qui serrent, dans le tracé des cartes topographiques, à représenter la forme du terrain. Les courbes de niveau ne sont autre chose que les sections faites dans la surface qui recouvre le sol , par divers plans horizontaux; et si Ton a soin de mener ces p]ans à des intervalles égaux mesurés sur là verticale,, il est évident que là où lés projections horizontales des courbes de niveau seront plus rapprochées, elles indiqueront que la pente du terrain est plus rapide ; et en même temps , les diverses sinuosités de ces courbes figureront les mouvements du sol, quelque variés que soient ceux-ci.
Pour obtenir Téquation finie des courbes de niveau, il suffit de joindre à l'équation de la surface proposée , celle d'un plan horizontal quelconque , c'est-à-dire de prendre le système
et en éliminant z , il vient pour la projection des lignes de niveau, l'équation F (x, j", y) = o, où y est une constantie arbitraire. Mais si l'on veut avoir l'équation différentielle commune à toutes ces courbes, on différentiera le système précédent , ce qui donnera
dz •=: pdx -^ qdy et z = o;
et par suite , l'équation différentielle qui caractérise les courbes de niveau , sur toute surface , sera
fl) pdx-^ qdyzzzo^
t>E LA COURBURE DES SURFACES. 365
seulement , si ^ ou ^ renferme ^ (ce qui arrivera ordinairement lorsque l'équation F = o aura été diflerentiée avant d'être résolue par rapport à z) , il restera àiéliminer cette variable au moyen de l'équation de la surface , pour que l'équation (i) représente la projection horizontale des courbes de niveau.
