Soit, par exemple

qui représente (n® 296) tiJutes les surfaces de révolution autour de l'axe des z ; on a ici /; = 2 x. (f\ q=z2j.(fx donc l'équation (i) devient

xiix 4- fdy = o ; d'où^ en intégrant,

Ainsi les courbes de niveau sont les parallèles de la surface, comme on devait s'y attendre.

4f39. La ligne de plus grande pente j à partir d'un point donné sur une surface, est celle qui jouit de la propriété que chacune de ses tangentes fait ai^ec F horizon un angle plus grand que celui de toute autre tangente à la surface, menée par le même point de la courbe. Or, comme toutes les tangentes menées par ce point quelconque sont dans le plan tangent de la surface , celle de ces droites qui sera perpendiculaire à la trace horizontale de ce plan , formera évidemment le plus grand angle possible avec l'horizon •, d'où il résulte que la ligne de plus grande pente doit avoir, en chaque point, sa tangente perpendiculaire à la trace horizontale du plan tangent^ et, par une conséquence nécessaire, la projection de cette tangente, sur le plan XY, devra aiissi former un angle droit avec la trace du plan tangent.

440. Cela pose y en appelant x , y, les coordonnées d'un point quelconque de la projection de la ligne de plus grande p«Dte , sa tangente et la trace du plan tangent seront représentées sur le plan des (x^y) par

et puisque ces deux droites doivent être perpendiculaires , on aura la condition

Cette relation (2), qui caractérise la courbe çle plus grande pente, suffit pour la détenniner, en y joignant du moins Téquation F (.r, jy, ^) = o de la surface sur laquelle doit être située cette courbe ; et lorsqu'au moyen de F = o on aura éliminé z de l'équation (2), si cette variable y entre , on auir^^ réquatioi^ différentielle de la projection de la li^ede plus grande pente, et il restera à l'intégrer.

On aurait pu aussi parvenir à l'équation (2), en exprimant que la ligne de plus grande pente était perpendiculaire à la courbe de niveau représentée par l'équation (i).

44i . Si nous prenons encore l'exemple des surfaces de révolution

l'équation (2) deviendra

xdjr — ydr == o j

d'où, en intégrant et désignant la constante arbitraire

par 7,

DE LA GOUBBURE DES SUAFAGES. 36']

Cette équation représentant un plan passant par Taxe OZ, il s^ensuit (juMci les courbes de plus grande pente sont toutes des méridiens de la surface. La constante arbitraire y se déterminera en assujettissant la courbe à passer par un premier point (x\ y) assigné par la question, ce

qui donnera y = ~. Cette valeur resterait indéterminée ,

si le point donné était sur Taxe de révolution ; mais c'es t qu'alors tQUs les méridiens partant de ce point sont indifféremment des lignes de plus grande pente.