TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE

§ P*". Notions préliminaires.

444. On sait qu'un triangle sphérique est la portion de surface comprise, sur la sphère, entre trois arcs de grands cercles qui se coupent deux à deux , et Ton entend par grand cercle celui dont le plan passe par le centre de la sphère ; de sorte que deux points donnes sur cette surface suffisent toujours pour déterminer un grand cercle. Dans le triangle ABC, les côtés sont les arcs BC, Fio. 54. CA , AB , que nous désignerons respectivement par a , 6 , y •, et /e5 angles sont , comme pour des courbes quelconques, les aiu^les formés par les tangentes à ces arcs de cercle : ainsi Tangle sphérique A égale TAS. Mais comme ici les tangentes AT et AS sont perpendiculaires au rayon AO, intersection des plans des deux grands cercles auxquels appartiennent les arcs AB et AC,

{*) La Trigonométrie sphérique étant aussi une application do TAna- Jyae à la Géométrie des trois dimensions , laquelle oi&e des secours né* cessatres à la Mécanique et à la Géodésie , j'*ai pensé qu^il serait utile de placer ici les principales formules et leur application à la résolution des triangles. Pour obtenir ces formules, j^ai employé la marche analytique suivie par Lagrange dans un Mémoire inséré au sixième cahier du Journal de l'École Polytechnique. Ta'i conservé la division sexagésimale du cercle, attendu que beaucoup de résultats numériques^ exprimés de cette manière et employés souvent dans l'Astronomie, sont consacrés par un trop long usage pour qu'il convienne de les changer.

on voit que Fangle sphérique A n'est autre chose que Tangle dièdre formé par les deux plans BAO et CAO. D'ailleurs , si l'on mène le grand cercle DEF perpendiculaire au rayon AO, l'angle dièdre en question sera aussi mesuré par DOE ou par l'arc DE ; donc on peut dire encore qu'i/// angle sphérique BAC a pour mesure Tare de grand cercle DE compris entre ses côtés j quand ils ont été prolongés jusqu'à dei^enir égaux à im quadrans ,• car on a évidemment AD = 90^ et AE = 90^.

445: Si l'on admettait des côtés plus grands que 180", les trois sommets A , B , C , pourraient appartenir à plusieurs triangles ; car ils conviendraient aussi au triangle formé par les arcs CA, CB et AFHDB. Mais on exclut ces sortes de figures, parce qu'elles offriraient des angles dièdres qui , comme C dans cet exemple , surpasseraient deux angles droits, et que d'ailleurs la construction de tels triangles se ramènera toujours à celle de triangles soumis à la restriction que chaque côté soit moindre quune demi-circonférence. C'est pourquoi nous ne nous occuperons que de ces derniers.

446. Enjoignant les sommets A, B, C, avec le centre de la sphère , on forme une pyramide triangulaire OABC , dont la base est le triangle sphérique donné , et dans laquelle les^cé?^ ou angles plans BOC, COA, AOB, ont pour mesure les côtés a , 6 , y , du triangle \ tandis que les angles dièdres compris entre les faces, sont les angles sphériques de ce triangle. Ainsi, d'après les théorèmes de Géométrie relatifs aux angles trièdres ou polyèdres, on a droit de conclure que , dans tout triangle sphérique, 1^ un coté est toujours plus petit que la somme des deux autres ; 2^ la somme des trois côtés est toujours moindre que^Go^j ou qu'une circonférence de grand cercle.