D'ailleurs on a vu dans la Géométrie descrip

TRIGONOMETRIE SPHlÉRIQVE. 3« I

twe, n^ 55, que si par le point O on menait trois plans respectivement perpendiculaires aux arêtes OA, OB, OC, on formerait une nouvelle pyramide , dite supplémentaire de OÀBC , à cause des relations qui existent entre leurs angles plans et leurs angles dièdres. Or, comme cette nouvelle pyramide coupera la surface de la sphère suivant un triangle dont nous désignerons les angles par A', B', C et les côtes par oc\ S', y\ il s ensuit que l'on ai|ra les re^ lations

C 4- 7 = l8o% 7' 4- C =: î8oO;

c'est-à-dire que, pour tout triangle sphérique ABC, il existe un triangle supplémentaire A! B'C, iiont Icg angles sont les suppléments des côtés du premier, et dont les côtés sont pareillement les suppléments des angles du triangle primitif.

Le triangle A'B'C se nomme aussi le triangle polaire de ABC, parce que chacun de ses sommets se trouve comme on le démontre en Géométrie , à 90^ de tous les points du côté opposé dans le triangle ABC.

448. Il résulte de là que la somme des angles d un triangle sphérique n'a point , comme cela arrive dans les triangles rectilignes , une Vàkur constante ; car il faudrait que les côtés du triangle supplémentaire fissent toujours la même somme , ce qui est faux évidemment : mais du moins , on peut assigner deux limites entre lesquelles sera toujours comprise la somme des angles de tout triangle sphérique. En effet, d'après les formules du numéro précédent, on a

,: (A 4- B 4- Cj 4^ («' 4- ê' 4-7') =r 6 X 90-;

el comme on sait (n^ 446) que

a' -+- 6' -4- 7' < 4 X 90% on en conclut

D'ailleurs , chaque angle du triangle sphérique étant toujours moindre que deux droits, d'après la restriction admise n** 445 , il s'ensuit que

Ainsi, dans tout triangle sphérique, la somme des angles se trouvée toujours plus grande que deux angles droits, et moindre que six.

449. Un triangle sphérique peut donc avoir deux de ses angles qui soient obtus , ou bien droits ; tel est ADE : il peut même être trir^ctangle, puisqu'il suffirait de faire tourner le côté AE jusqu'à ce que l'arc DE fût égal à 90*^, et il est évident qu'un triangle tri rectangle renferme la huitième partie de la surface totale de la sphère.

450. Comme nous aurons besoin , pour un des cas de la résolution des triangles sphériques, d'employer l'expression de la surface d'un tel triangle , nous allons la rappeler, afin de bien fixer le sens dans lequel on doit entendre cette mesure.

FiG. 54. I^^ triangle ABC fait évidemment partie de troïsfuseaux que l'on obtient en prolongeant les côtés AB , AC , BC , jusqu'à ce qu'ils se coupent deux à deux une seconde fois , ce qui arrivera quand ils seront devenus égaux chacun à une demi-circonférence. Or, con^me l'aire d'un fuseau est manifestement une fraction de la surface sphérique, exprimée par le rapport de l'angle dièdre du fuseau avec quatre angles droits , nous aurons , en désignant par S l'aire de la sphère totale, et par D un angle droit, les

TEIGOMOJH£Tai£ SjPBé&IQUK. 373

expressions suivantes pour les aires des trois fuseaux eu question :

4D^ surf. GALBC = ABC -f- ABL = S . ^

surf. ABHGA x=à ABC + BGH = S

surf. BAGCB = ABC -h ACG = S

Ajoutons maintenant ces équations membre à membre , et observons que le triangle ABL , situé dans Tbémisphère opposé, peut être remplacé parle triangle CGH, qui lui est symétrique et égal en aire , puisque l'un et Tautre ser^ vent de bases à deux angles solides trièdres opposés par le sommet ^ puis , faisons attention que , parmi les six triangles que donnent les trois fuseaux , il y en a quatre qui composent la demi-spbère^ et nous obtiendrons la nouvelle équation