ABC

d'où Ton déduit aisément

Ce résultat montre que l'aire du triangle ABC est une fraction de la surface S de la sphère ^ exprimée par le quotient qu'on obtient en divisant l'excès des trois angles du triangle sur deux droits, par huit angles droits. On sait que cet excès est toujours positif (n° 448), et qu'il ne peut atteindre quatre angles droits ; par conséquent la valeur ci-dessus sera, comme on devait le prévoir, toujours moindre que la moitié de la surface de la sphère. 451. Pour simplifier la formule précédente , on eon-

374 « CHAPITRS XYIII.

vient ordinairement d'estimer les angles A , B , C , non pas en degrés , mais en fonction de Tangle droit , pris comme unité des angles; alors on a D = i , et A, B, C deviennent des nombres abstraits compris entre o et 2. Si, de plus, on adopte aussi pour unité de surface la

quantité ^ S, qui représente le triangle trirectangle

(n** 449), il restera pour l'expression de Taire dutrian-< gle proposé

ABC = A-f-BH-C— 3=1.

C'est cette quantité e que l'on nomme T exchs sphérique , et qui devient , par les hypothèses admises , la mesure même de la surface du triangle ; mais il faudra se souvenir que e ne sera qu'un nombre abstrait qui indiquera combien de triangles trirectangles , ou de fractions de ces triangles, sont contenus dans le triangle ABC.

Par exemple , si les angles A , B, C , mesurés en degrés, se trouvent de 65°, laS^, 140°? alors on devra, pour les estimer en fonction de l'angle droit , poser

et l'excès sphérique deviendra

ce qui voudra dire que la surface du triangle propose est

les ^ 4'uii triangle trirectangle \ puis, si l'on veut le com-

parer avec la sphère , le même triangle sera les —i de L

surface totale de ce corps.

TAIGONOMÉTRIK SPHKRIQUE. ^f}S'

§ II. Formules générales.

4S2. Soit ABC un tmngle sphérique tracé sur une sphère dont le rayon OA = r, et qui a pour côtés ks ^'^^' ^^' arcs

BC =^ a, CA = € , AB = 7 ;

menons aux deux côtés qui forxxiient un de ses angles, A par exemple , les tougentes AT, AS , que nous terminerons par les rayons OB, OC , prolongés 5 puis, joignoios les points T et S : nous obtiendrons ainsi deux triangles rectilignes TOS , TAS, dans lesquels les angles opposés au côté commun TS , sont équivalents (n^ 444) au côté « et à Tangle A du triangle sphérique. Donc , par un théorème connu de Trigonométifie rectiligne , nous aurons

TS = OT H- OS — 2.OT.0S.cosa,

TS = AT -h AS — a.AT.AS.cosA;

et ici le^ cosinus devront toujours être mesurés, non dans la sphère OA, mais bien dans le cercle dont le rayon égale Tunité, puisque aatrementt ces équations ne seraient pas homogènes. Alors, si Ton retranche ces équations membre à membre, et que Ton ait égard aux triangles rectangles OAT , OAS , qui donnent évidemment les relations suivantes ,

(yP — AT»=r% OS'~AS'=rS 0T=:— ^, AT = rtang7, OS=— ^, AS = rtang6,

ces 7 ces ê ^ *

il viendra

2/*' ces a

= 2^-' h 7.r^ tang 6 taïuç 7 cos A;

ces 6 cos 7 o -o # 7

376 CHAPIT&S XYIII.

puis, si Ton supprime le facteur commun 2r', et qu'on résolve par rapport à cos a, on obtiendra

(i) cos a = cos 6 cos 7 ~h sin € siny cos A ,

formule où le rayon r de la sphère en question est disparu, et qui ne renferme que des ligues trigonométriques comptées toutes dans le cercle qui a pour rayon l'unité. Mais celte formule repose sur uVie construction qui semble exiger que les deux côtés 6 et y soient moindres que 90*^5 c'est pourquoi il importe de montrer qu'elle est vraie dans tous les cas.

453. D'abord, si le côté y est seul plus grand qu'un quadrans , comme dans le triangle ACB", le rayon OB" rencontrera, non plus la tangente AT, mais son prolongement AT', et donnera lieu à un triangle ACK, pour lequel la construction primitive sera possible. On aura donc dans ce dernier triangle,

cos a' = cos 6 cos 7 ' H- sin € sin 7 ' cos A' ;

mais il existe évidemment entre les triangles ACB' et ACB" les relations

et en substituant dans l'équation précédente , on retrouve la formule (i), qui demeure ainsi vraie pour le triangle ACB'.

Si les deux côtés 6 et y se fussent trouvés ensemble plus grands que 90^, on aurait de même prolongé les deu^ rayons OB , OC , en sens contraires , ainsi que les deux arcs AB, AC, et l'on aurait obtenu un triangle dans lequel on aurait eu

A'=A, a' = a, 6'=i8o«— 6, 7'=ri8o°— 7, ce qui ramènerait encore à la formule (i).

TaiGONOHÉTlin SPHIÉ&IQUE. 3']']

454. Soient maînteuant S = 90** et y = 90°, comme dans le triangle ADE**. Ici la formule (i) se réduirait à

CCS a = CCS A ,

résultat évidçnt , puisque Tare a = DB*' est bien (n® 444) la mesure de l'angle A.

455. Enfin, supposons, comme dans le triangle ACB"', qu'un seul côté y soit de 90^. Le théorème en question sera démontré, d'après le numéro précédent, pour l'angle droit D du triangle CDB'*' (à moins que l'on n'ait DB* = 90*^), et l'équation (i) appliquée à ce triangle, donnera

cos CB* = cos CD cos DB*, ou bien

ces a = sin 6 cos A.

Or, c'est bien là cç à quoi se réduirait la formule (1) , en y introduisant l'hypothèse y = 90^ ; donc cette formule est encore vraie pour le triangle ACB**.

Quant au cas tout particulier où l'on aurait à la fois y = go^ et DB'*' =;= Qo°, la construction générale que nous appliquions ci-dessus au triangle CDB'*', ne pourrait plus s'effectuer ; mais on voit immédiatement qu'alors le point B* se trouverait le pôle de l'arc ACD, et par conséquent B^'C = a serait de 90**, aussi bien que l'angle A, qui a pour mesure DB*' 5 de sorte que l'équation (i) serait encore vraie pour un tel triangle ACB*^, puisqu'elle deviendrait = 0, d'après les hypothèses admises

456. Nous conclurons de là que le théorème exprime par l'équation (1) , est vrai dans tous les triangles sphériques , quels qu'ils soient 5 et en l'appliquant tour à tour

3n8 CHAPITRK XVUI.

aux trois côtés a , 6 , y du triangle ABC , nous auroQs^

/ cos a =: cos ê ces 7 + sin 6 sin 7 cos A ,

( I ) < cos 6 =z cos a cos 7 4- siîi a sin 7 cos B ,

( côs 7 = cos a cos 6 -+- sin a sin 6 cos C ,

formules dont chacune exprime une relation entre trois côtés et un angle ^ et qui, par leur ensemble, doivent comprendre implicitement toute la Trigonométrie sphérique, puisqu'elles suffiront toiAJours pour calculer trois des six quantités A , 6 , C , a , S , y, quand les trois autres seront connues. Mais comme il est utile d'avoir, pour chaque cas , des formules dont chacune ne renferme qu'une inconnue , nous allons les déduire des équations précédentes par diverses combinaisons.

457. Cherchons une relation entre deux cotés et les deux angles opposés , par exemple, entre a, 6, A et B La marche directe serait d'éliminer cos y et sin y entre les deux premières équations du groupe (i), au moven de la relation sin* y + cos* y = i; mais comme les calculs seraient fort longs , nous emploierons le moyen suivant. De la première des équations (i) tirons la valeur de cos A , pour la substituer dans la relation

sim A = \/i -^cos^A ; il viendra , en réduisant au même dénominateur,

. . i/ sin'é sin*7 ~- (cos a — cos6cos7y'

sm A = 1 . >> , -^ ;

sm b sin 7

mais en substituant soufi le radical les expressions des sinus en cosinus , on trouve

i/l — COS^OC — COS^ê — cos* 7 -f- 2COSa cos $ COS7

sinA= . ^ : '.

sin 6 sm 7

TRIGONOMÉTUE SPH£EIQU£. 3^9

Or, le second membre de cette dernière équation , après avoir été divisé par sin a, deviendra évidemment une fonction symétrique de a , 6,7, c'est-à-dire une fonction qui reste la même quand on permute ces lettres entre

elles: d'où l'on conclut que le rapport -: a une valeur

^ • *^ sma

constante et invariable pour chacun des angles du triangle ABC , comparé avec le côté opposé ; et qu'ainsi on a les trois équations

sin A sin B sin C sin a sm 6 sm 7

ce qui signifie que dans un triangle sphérique , les sinus des angles sont proportionnels aux sinus des côtés opposés.

458. Cherchons maintenant une relation entre deux €Ôté9 et deux angles dont un soit compris entre les côtés donnés, par exemple , entre a^ S , Â et C. Substitu4;»ns dans la première des équations (i) , la valeur de cos y fournie par la troisième , et la valeur

sin C sm 7 = sm a -; — r »

sm A

que donne une des formules (2) : il viendra

cosa = cos^ cos a -+■ sin a sin g cos€ cos C -4- sin 6"sin a -r — ces A :

sm A

ou bien, e^ transposant le premier terme du second membre dans le premier,

cos a sin ' 6 = sin a sin € cos 6 cos C + sin a sin€ cot A sin G.

Maintenant, si l'on divise tous les termes par sin a sin 6, on obtiendra la première des formules suivantes , et les

38o GHAPIT&K XVIII.

autres s'en déduiront par de simples permutations, de lettres (*):

cot a sLd 6 = cot A sin G -h cos 6 cos G,, cot a sin 7= cot A sin B -h COS7 cos B ;

cot 6 sin a = cot B sin G -H cos a cos G ,

cot 6 sin 7 = cot B sin A + cos 7 cos A ;

cot 7 sin a = cot G sin B + cos a cos B , cot 7 sin 6 = cot G sin A -h cos 6 cos A.

459. Pour obtenir une relation entre trois angles et un côté, le moyen le plus simple est d^appliquer au triangle supplémentaire le théorème fondamental ex-> primé par Féquation (i) , ce qui donne

cos a' = cos 6' cos 7 ' 4- sin 6' sin 7 ' cos A',

puis de substituer ici les relations connues

a' = i8oo— A, 6'=i8o«— B, 7'=:i8o«— G, A'=i8o«— av

alors on obtient pour le côté a, et semblablement pour chacun des autres , les formules

cos A = — cos B cos G -h sin B sin G cos a , (4) \ cos B = — cos A cosG -h sin A sin G cos 6, cos G = — cos A cosB -f- sin A sinB cos 7.

{*) Les formules (3), que I^on écrit de plusieurs manières, orc^nairemcDt fort incommodes à retenir, se retrouveront aisément si on les dispose comme ici, et qu^on observe, i^ que chaque membre commence par une cotangente multipliée par un sinus; tP que dans le premier membre ces lignes portent sur deux côtés choisis à volonté, et dans le sec <nd membre sur deux angles, dont le premier seul est opposé au premier côté déjà employé; 3<* que le dernier terme est form/^ par les deux cosinus des mômes arcs, dont les sinus entrent déjà dans Téquation.

TRIGOI«OM£TAÏE SPHEAIQUE. * 38 1

460. Les quatre groupes de formules obtenues jusqu'ici offrent évidemment toutes les combinaisons que l'on peut faire de trois données avec une seule inconnue ^ parmi les six quantités A,B,C,a, ê,y;de sorte qu'il suffira de choisir parmi ces quinze équations, celle qui conviendra au cas proposé , et de la rendre ensuite propre au calcul logarithmique, ainsi que nous le montrerons en détail dans le paragraphe IV. Ici nous nous bornerons à remarquer qu'on doit comprendre dans la résolution des triangles sphériques , obliquangles ou rectangles, le cas où l'on donne les trois angles A , B , C ; car ces données déterminent les côtés a', 6', y', du triangle supplémentaire : elles permettent donc de calculer les angles A', B', C, et par suite leurs suppléments, qui sont les côtés a, 6, 7 du triangle primitif, lequel se trouve ainsi complètement déterminé par la connaissance de ses trois angles. C'est d'ailleurs ce que prouvent directement les formules (4).

§ m. Résolution des triangles rectangles,

461 . Lorsque dans le triangle ABC l'angle A est droit, Fie. 56. c'est-à-dire quand le plan du grand cercle CA est perpendiculaire au plan du côté BA , le triangle est dit rectafigle, et le côté CB = a s'appelle toujours ^/^yy^oténuse, Gn ne doit pas oublier que les deux autres angles pourraient être aussi (n^ 449) droits ou obtus; mais un triangle trirectangle aurait évidemment tous ses côtés

de 90^, et un triangle birectangle où A et B seraient droits , aurait pour côtés opposés a =90^, 6= 90^, tandis que le troisième côté y serait (n^ 444) la mesure même de l'angle C. Ainsi , ces deux genres particuliers de tri an- '

gles ne donnant pas lieu à de véritables problèmes , nous

382 • GHAPITRK XVIII.

ne devons considérer que les triangles où un seul angle A est droit, avec deux autres angles obliques qui peuvent être aigus ou obtus.

462. Pour obtenir les formules nécessaires à la résolution des triangles rectangles, il suffit de poser A = 90® dans les quatre groupes de relations générales que nous avons trouvées pour les triangles quelconques. Cette hypothèse , introduite dans la première des équations (i), donne

( 5 ) cos a =r cos 6 ces 7 ;

c'est-à-dire que le cosinus de V hypoténuse est égal au produit des cosinus des deux autres côtés. Cette relation est analogue avec celle-ci : a' = 6'-|-y*, qui aurait lieu si le triangle sphérique devenait rectilîgne, en conservant des côtés de même longueur absolue \ et la première se ramènerait à la seconde , en développant les cosinus en séries, puis en supposant que le rayon de la sphère devienne infini, (ployez n° 4'92.)

463. Les équations (2) donnent, par Thypothèse A == 90°, les deux formules suivantes ,

. ^ V . ^ sin 6 ^ . sin 7

(6) sin B = -; — , smC=-,— ^,

^ ^ sm a sm a

qui montrent que le sinus dhin angle oblique est égal au sinus du côté opposé^ diuisé par le sinus de Vhypoténuse : principe analogue à celui des triangles rectilignes, où Ton aurait

sin B = - .

464. Dans les équations (3), les deux premières donnent, pour A. = 90°,

cot a sin 6 = cos €.cos C , cet a sin 7 = cos 7 cos B ,

T&IGONOMKT&IK SPHÉRIQUE. 383

tl'où Ton conclut

(n) cos B = — ?^ , cos C = — ^- :

^ ' ^ tang a tang a

formules qui prouvent que le cosinus (Tun angle oblique est égal à la tangente du côté adjacent^ dis^iséc par la tangente de F hypoténuse , et qui sont analogues à la re-

lation cos B = - , que fournirait un triangle rectiligne.

465. La quatrième et la sixième des équations (3) deviennent , par l'hypothèse A = 90*^,

cet 6 sin 7 = cet B , cot 7 sin 6 =. cet C ^

d'où Ton déduit les relations

(8) tangB = ^i?8i, tangC = î^; ^ ^ ® sin7 ' * sine

c'est-à-dire que la tangente d'un angle oblique est égale

à la tangente du côté opposé, dii^isée par le sinus du

côté €idjacent : principe analogue à celui des triangles

g rectilignes, où l'on aurait tang B = - (*).

466. Quant aux équations (4) , Thypothèse A = 90^ donne, dans la première,

o = — cos B cos C -h sin B sin C cos a ,

d'où l'on déduit cette formule

(9) cos a = cot B cot C ;

(*) Lies trois formules (6), (7), (8), écrites comme nous Pavons fait, seront donc faciles à retenir, puisque les combinaisons d'*angles et de côtés sont les mêmes que dans les tiFiangles rectilignes ; seulement, il faudra se rappeler que le sinus d^un aogle s^exprime par deux sinus , le cosinus par deux tart^entes, et la tangente par une tançenie et un sinus.

384 CHA.PIT&B XVXII.

c'est-à-dire que le cosinus de rhypoténuse égale le produit des cotangentes des deux angles obliques,

467. Enfin , les deux dernières des équations (4) donnent, par l'hypothèse A = 90®,

f V - cosB cosC

(10) cosS = -:— ?;> cos 7 = -?— 5^5

' ' smC smB

ce qui prouve que le cosinus ^un côté de V angle droit est égal au cosinus de Vangle opposé, dis^isé par le sinus de r angle adjacent,

4f68. Voilà donc six principes qui fournissent dix équations où se trouvent toutes les combinaisons que ron peut faire de deux données avec une seule inconnue, parmi les cinq quantités B , C , a , 6 , y ; et il suffira d'en faire un choix convenable, d'après les données de chaque problème, ainsi que nous allons l'indiquer. Mais auparavant, tirons de ce qui précède deux conséquences applicables à tous les triangles rectangles.

1°. On voit, d'après la formule (5), que les trois côtés oc^ S^ y devront être tous moindres que 90**: ou bien deux seront à la fois plus grands que 90^, et le troisième moindre. Ainsi le nombre des côtés plus grands qu'un quadrans, est toujours ^air.

2^. La formule (8) montre qu'un angle oblique est toujours de même espèce que le côté opposé ; c'est-à-dire qu'ils sont tous deux à la fois moindres que 90°, ou à la fois plus grands.

FiG. 56. 469. Premier cas. On donne F hypoténuse a et un côté 6 de Vangle droit ^ les trois inconnues y, B et C se trouveront par les formules (5) , (6) , (7).

Deuxième cas. On donne les deux côtés S et y de

T&IOONOMéTAlE SPHI^EIQUE. 385

Vangle droit ^ les inconnues sont ici a , B et C , qui s'obtiendront par les formules (5) et (8).

Troisième cas. On donne r hypoténuse a et un angle oblique. B ; pour trouver les inconnues 6 , y et C , on emploiera les formules (6), (7) et (9).

Quatrième cas. •On donne un côté 6 et Vangle op~ posé B ; les inconnues ce , 7 <et C s'obtiendront par les formules (6), (8) et (10).

Cinquième cas. On donne un côté 6 avfec Vangle adjacent C ; les inconnues a , / et B se calculeront au moyen des formules (7) , (8) et (10).

Sixième cas. On donne les deux angles obliques B et C ^ pour trouver les inconnues a, 6, y, on emploiera les formules (9) et (10).

470. Observons ici, i^ que toutes les formules citées sont telles que les logarithmes s'y appliquent immédiatement ; seulement , il faudra auparavant avoir soin de les rendre homogènes en y introduisant pour facteur une puissance convenable du rayon R des tables.

2^. Que lorsqu'un élément inconnu sera fourni par sou fiinus, lequel peut appartenir également à un angle aigu et à son supplément, il y aura ambiguité sur la grandeur de cet élément ; mais cette ambiguité cessera si , parmi les données, se trouve le côté ou l'angle opposé à cet élément; car on a vu (n*^ 4f68) que ces deux grandeurs devaient toujours être de même espèce*

474. D'après ces remarques, on verra aisément que, parmi les six cas que présente la résolution des triangles rectangles , il n'y a que le quatrième qui soit vraiment douteux j c'est-à-dire qui admette deux solutions. En effet,

386 CHAMTEl XVUt, '^

les incoonues â(, y et C sout données par les équations

sine tang € . ^ cosB

sin a = -;— - , sin 7 fi= ; — ^ , sm C = ;

sm B tang B cos 6

ainsi , il faudra commencer par prendre C et y tous deux moindres que 90^, ou tous deux plus grands, et ensuite déterminer Tespèce de a par la relation cos a = cos 6 cos y. On peut d'ailleurs, reconnaître à priori Texisteiice de deux solutions dans ce cas, puisque, si Ton prolonge les Fw. 56. deux côtés BC et BA jusqu'à ce qu'ils se coupent de nouveau en B', on aura un second trîanjgle rectangle CAB', où le côté 6 et l'angle B' = B sont évidemment les mêmes que dans le triangle primitif CB A ; d'ailleurs , les autres parties C, «', y', de ce nouveau triangle, sont bien les suppléments de C , a , y.

§ IV. Résolution des triangles obliçuangles.

472. Ces triangles, où l'on devra toujours connaître trois des six éléments A,B,C,a,6,y, présentent six problèmes distincts, qui se résolvent parles quatre principes généraux qu'expriment les formules (i), (2), (3) et (4) ] mais comme ces formules exigent quelques modifications pour se prêter au calcul logarithmique , nous allons parcourir les diverses parties de cette question.