PREMIER CAS

473. On donne les trois côtés a, 6, y. Pour trouver l'un des angles , A par exemple , il suffira d'employer la formule (i),. qui donne

cos a — cos 6 cos 7

cos A =

sin 6 sin 7 ' équation dont le second membre est tout connu , mais qui

TAICOKOViTRIS SPHiniQUE. 887

ne se prête pas commodément au calcul logarithmique. C'est pourquoi nous allons substituer cette valeur dans la relation générale

— cosA

et il viendra, en réduisant au même dénominateur,

dn|A'=y/î

xos(6 — 7) — cosa sm • " '

2sin6sin7

puis , par la formule connue

ces {a — b) — cos (éi + ^) = 2 sin a sin 6 , on obtiendra enfin

ci« ' A — i AiP7(«-^-^— 7)sin|(a-4-7 --6) V sm6sm7

formule que Ton rendra homogène en multipliant le second membre par le rayon R des tables, et à laquelle les logarithmes s'appliqueront aisément. D'ailleurs, elle n'offrira point de double valeur pour l'angle A , quoiqu'il soit donné par un sinus , parce que l'arc 1 A ne saurait surpasser go^.^Quant aux deux autres angles, ils s'obtiendront par des formules toutes semblables à celle-ci , et qui s'en déduiront par des permutations de lettres.

474. Si l'on avait substitué la valeur de cos A dans la relation

iA = y/ï

H- cos A

cos 7 A = \/ ,

on serait arrivé , par des calculs analogues , à la formule

V smSsiny

388 CHAPITEE XVIII.

qui , par sa'combinaison avec la première , fournit encore «eue relation

tangi A = */"»t(«-t-6-7)sinj-(a+y-6) *" V sm^(6+7 — a)smi(a-(-eH-7)

Ces expressions de cos | A et tang ~ . A pourraient être employées au même usage que celle de sîn ~ A ; et nous allons indiquer ici une application a;rès-utile de ces formules.

Fie. 57. 475. Réduire un angle à Phorizon. Un obsçrvateui* placé au point O , a mesuré Tangle POQ que font les deux rayons visuels dirigés vers des points fixes P et Q , et il a mesuré aussi les angles POO' et QOO' formés par ces rayons avec la verticale ;, on demande Tangle PO'Q', qui est la projection du premier sur un plan horizontal. Si Ton conçoit une sphère décrite du point O, comme centre, avec un rayon quelconque , elle sera coupée par les trois faces de l'angle trièdre O , suivant un triangle sphérique ABC, dont les côtés a, 6, y seront les angles observés; tandis que l'angle demandé P'O'Q' ne sera autre chose que Tangle dièdre des deux plans POO' et QOO', c'esl-àdîre l'angle A du triangle sphérique : on calculera donc cette inconnue A par une des formules établies cidessus.