DEUXIÈME CAS

476. On donne deux côtés a et ê, av^ec F angle A opposé à Vun d^eux,

i**. L'angle B s'obtiendra par le théorème (2), qui donne

. ^ sin A sin 6

smB=: ; .

sin a

TRIGONOMÉTRIE SPHËRIQUE. 38q

2". Pour le côté 7, on emploiera la formule (i),

'■ cos a = cos 6 cos 7 + sin 6 sin 7 cos A

= cos6(cos7 -\- sin 7 tang 6 cos A);

et pour la rendre calculable par logarithmes , on aura recours à un angle auxiliaire y , en posant (*)

('") tang 6 cos A = tang (p ,

ce qui donnera

cos a = cos6( C0S7 -f- sinv ^ ) ,

\ 'cos ç/

ou bien

i^\ cos 6 cos f7 — <p^ \P) cos a = 11 ï^.

COS(|p

Ainsi, après qu*on aura calculé l'angle auxiliaire 9 par l'équation (w), on trouvera , au moyen de (/*), Tare y — (f, et par suite le côté y tout entier,

3^. Pour TangleC, on pourrait, après avoir trouvé y,

(*) Pour saisir Tesprit de ces transformations fréquentes, çt ne pas en faire un mécanisme aveugle et fatigant pour la mémoire, il faut remarquer que, dans tous les cas semblables, il s'agit de changer en produit un binôme de la forme

Msinw + Ncosw.

Or, si Ton met en facteur commun Tune des quantités M ou N , comme

M I sin 6» -i- cos 0) -jrr L

N et que Ton égale le coefficient trr à une tangente ou à une cotangente ,

lignes qui sont susceptibles de recevoir toutes les valeurs possibles, on aura

M i sin w -f- cos 6) — — 2- 1 = ^ -^ X J

\ cos 97/ cosç»

M I sin w -h cos w -r-^ I = r-~ ^

\ smo/ »ui«'

SgO CHAFITRK XVUI.

employer le théorème (2); mais si Ton veut obtenir C directement, on prendra, dans le groupe (3), la formule

cota sin€ =r cot A sinC -h cos6 cosC

^/ « . ^cotA\

= cos6( cosC + sinC ^ ),

\ ces 6 /

pms on posera

, . cot A

(p) s=taiig)^,

cos 6

ce qui permettra de calculer aisément Tangle auxiliaire ^', et en substituant dans Téquation précédente, il viendra

/ N X. cos(C-->I*)

(g) cot a tang 6 = — ^ — --^ ,

équation d'où Ton déduira aisément l'angle G — ^, et par suite l'angle G.

Fie. 58. ^'^7' H 6®^ ^^ ^6 remarquer que l'introduction des auxiliaires (f et î(/, revient à partager le triangle ABC en deux triangles rectangles, par une perpendiculaire GD = fi. En effet, si l'on appelle 9 le segment DA, et (p l'angle ACD, le triangle rectangle AGD donnera , par les formules (7)

et (5),

tang»

cos A = — 2^ , cosg = cos A cos :

tangê' ^

puis, le triangle rectangle CDB donnera, par la formule (5),

cos a = cos h cos (7 — y) ;

et si l'on substitue ici la valeur de cos fi, on aura ces deux formules

cosA=: — ^, .cosa= ^ ^,

tang b cos (f

TRIGONOMÉTRIX SPHÉRIQUE. 3^1

lesquelles s'accordent évidemment avec les équations (m) et (n) du numéro précédent.

De même , pour trouver G , on déduira du triangle rectangle âCD, par les formules (9) et (7)^

tams, h cos 6 = cot A cot >I; , cos >p = — ^ ;

^ tang 5

puis , le triangle rectangle BCD fournira , d'après la formule (7), Féquation

^ ^' tang a

d'où Ton conclura, en éliminant A,

M I * . /^ • \ tang S cos \L cos 6 = cot A cet ^p , cos (C •— >}») = — ,

résultats qui rentrent aussi dans les formules (^) et {q). Ce cas admettra souvent deux solutions. {Voyez n^ 486.)

TE09tÈME CAS.