SIXIÈME CAS
484, On donne les trois angles A, B e^ C. Pour obtenir un des côtés, a par exemple, on emploiera le théorème (4) 9 c[ur donne
C03 A nr — cos B cos G + stn B sln G cos a ,
équation où cos a est la seule inconnue, mais qui ne se prête pas au calcul logarithmique. C^est pourquoi nous agirons conmie dans le premier cas, et nous substituerons la valeur de cos a , tirée de Téquation précédente , dans la relation connue
— cos a sm
alors il viendra , en réduisant au même dénominat^eur sous le radical,
^ ^ ^ — cos(B -{- G) — cos A.
âû 7 a = i/-
2 sin B sin G ou bien
dnja= y -
sin • -.-./- ^^*^ (B -^ C -^ A)cosi(B -l-G- A)
sinB sin G
Cette valeur, que Ton aurait pu déduire de celle de cos { A, trouvée n^ 474, en appliquant cette dernière au triangle supplémentaire, sera toujours réelle. En effet, comme la somme. des trois angles A, B^ C est toujours comprise (n*" 448) entre deux et six angles droits , il s'ensuit qu'on aura à la fois les deux conditions
|(A H- B -h G) >90° et < 3 X go*»;
ainsi , le premier cosinus qui entre sous le radical précédent sera négatif, et , à oause du^igne qui le précède , ce facteur deviendra positif. Ensuite , le second cosinus sera to^jours positifs car, dans le triangle supplémentaire, chaque coté ét^nt (n"^ 44tJ) plus petit que la sonuoae des
TRIOONOMéTRIE SPH^RIQUE. 897
deux autres, on aura
ou bien
d'où Ton conclut
§ V. Remarques.
485. On doit observer que, des six cas que nous venons de résoudre, les trois derniers auraient pu être ra^ menés aux autres par le secours du triangle supplémentaire. En effet, quand on donne, dans le quatrième cas, les angles A et B avec le côté compris y, on connaît, dans le triangle supplémentaire, les deux côtés a' et ê' avec Tangle C, puisque cea éléments sont les suppléments des données de la question. On pourrait donc, comme au n*' 478, calculer y'. A', C; et, en prenant leurs suppléments, on aurait les valeurs de C, a, 6. De cette manière, le quatrième cas se ramènerait au troisième , le cinquième au second , et le sixième au premier.
486. En examinant par quelles lignes trigonomé triques sont fournies les inconnues dans chacun de ces six cas , on reconnaît aisément que le second et le cinquième sont les seuls qui puissent admettre deux solutions; et encore ils ne les admettent pas toujours. En effet, soit CA6 Tangle Fie. 6i. donné A, que nous supposerons d'abord aigu, et AC = ^ le côté comnu adjacent à cet angle : si Ton abaisse Tare CD perpendiculaire sur AB , le second côté donné a pourra prendre deux positions CB et CB', également écartées de CD , et il y aura deux triangles ACB, ACB', construits avec les mêmes données , pourvu toutefois que a <C 6 ^ car si a > 6 j la seconde position CB' que prendrait ce côté , 4evraît être plus éloignée de la perpendiculaire CD que
3g8 CBAPITAK XVIII.
ne Test CA) et, par suite, le point B' serait à droite du point A : de sorte que le second triangle , ayant un angle A supplément de celui qu'assigne la question , devrait être rejeté.
Nous avons suppose , dans ce qui précède , le côté 6 moindre que 90** ; s'il était plus grand , et représenté par AC, il faudrait évidemment , pour que le côté a pût prendre les deux positions CB'' et OB'*, que a fût moindre que le supplément CA' de CA= ë, parce que autrement le côté AB"^ se trouverait plus grand que la demi-circonférence AB'^A'. En discutant de même le cas où Taagle A surpasserait 90^, il faudra observer que l'arc perpendiculaire CD se trouve alars plus grand que les obliques^ lesquelles diminuent en s'en éloignant; et par là on pourra établir les caractères suivants :
!a <^ ê , deux solutions ;
a =r (5 , une solution ;
a ^ 6 , une solution.
l a + 6 <^ 180°, deux solutions; Si A <. 90", 6 > go°, '. a -f- 6 = 180^, une solution;
/ a 4- (> > 180°, une solution.
!dt -4- € <^ i8o°, une solution; a -{- ê = 180", une solution; a 4- 6 ]> i8o", deux solutions.
ia <^ 6, une solution;
a =6, une solution;
a ]> ê^ deux solutions.
Pour le cinquième cas , où Ton donne A, B et a, on ramènera la discussion au cas que nous venons d'examiner, par le secours du triangle supplémentaire.
-487. Nous ferons connaître ici les analogies de Né-
TRIGOnOMÉTlLIB SPH^AIQUE. 3g(^
per, qui peuvent servir à résoudre le troisième et le quatrième cas des triangles obliquangles.
Eliminons cos y entre la première et la troisième des formules (i) du n° 456, et nous aurons
cos a = cos a cos' 6 + cos 6 sin a sin 6 cos G + sin 6 sin 7 cos A ;
d'où Ton déduira, en transposant,
sin 7 cos A = cos a sin 6 — sin a cos 6 cos C.
En éliminant , d'une manière toute semblable , cos y enr tre la deuxième et la troisième des formules (i) , on arrivera évidemment à
sin 7 cos B = cos 6 sin a — sin 6 cos a cos G ;
et en ajoutant ces deux dernières équations membre à membre , il viendra
(R) sin 7 (cos A -h cos B) = (i — cos G) sin (a -f- 6). Cela posé , on a par Je théorème (a) ,
sin A sin B sin G
d'où l'on déduit (S)
sin a sin 6
sin 7 '
sin A + sin B
sin G
sin a -h sin 6
sin 7 '
sin A — sin B
sin G
sin a — sin 6 sin 7 '
et en éliminant sin y tour à tour entre (R) et (S), et entre (R) et (T), il viendra
sin A + sin B sin G un a -h sin 6
cos A -I- cos B I — cos C ' sin (a -f-6) '
sin A — sin B sin C sin a — sin ^
cos A -h cos B I — cos C " sin (a + 6) '
400 CHAPITRC XVIII.
puis enfin , par les formules ordinaires de la Trigonométrie , qui changent les sommes de sinus ou de cosinus en produits 9 on ramènera aisément les deux équations précédentes à la forme
(n) tang -^ ( A -H B) =cot|C. ^-) ^,
^ ^ ** ' ^ ^ * cos|(a+6)
y X 1 / . «\ . ^ sin T (a — 6)
.(,a) tangi(A-B)=cotiC. ^^'.|^^gj .
Ces relations, qui pourraient être écrites sous la forme de proportions ou d" analogies j serviront, dans le troisième casàes triangles obliquaogles', à trouver (A+B), (A — B), et par suite, chacun des angles A et B.
488. Si Ton applique les formules (ii) et (12) au triangle supplémentaire , dans lequel A' = 1 80*^ — a , B' = i8o« — 6, C'=i8o«— 7, a' = i8o° — A,;..,
' on en conclura ces deux nouvelles analogies ^
, T^x . / ^x . cos-J-fA — B)
(.3) tangH« + 6)=tangi,.^-^^i^^,
/ rx . / ^x 1 siïi 7 (A — B)
(.4) t»°gH«-6) = tanS^7.-i(ITB)'
lesquelles pourront aussi , dans le quatrième casj suffire à trouver (a 4- ê), (« — 6), et par suite, chacun des côtés a et 6.
489. Nous placerons encore ici une conséquence remarquable de l'équation trouvée n*' 457,
. ^ i/ I — CCS* a — ces' 6 — cos^ 7 -H 2cos a ces 6 cos 7
sm A =: ' . ^ ' . — •
• . sm 6 sin 7
Fie. 5a. Considérons , en effet , un parallélipipède COADB , dont les trois arêtes contiguës sont
OA = flr, 0B=:^, OC = c,
TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUB. ioi
lesquelles font entre elles des angles
BOC=a, C0A=r6, AOB = 7.
Ces angles sont (n^ 446) les côtés d'un triangle sphérique intercepté par les trois faces de Fangle trièdre O, sur une sphère qui aurait son centre en ce point ^ et les angles A , B , G de ce triangle seront les angles dièdres qui ont pour arêtes OA, OB, OC. Cela posé, on a évidemment
surf. OADB = ab sin AOB = ab sin 7 ;
puis , en abaissant la perpendiculaire CH sur la base, et la droite HK perpendiculaire sur OA, on aura
CH == CK . sinCKH = CK . sinA ,
ou bien , en prenant la valeur de CK dans le triangle rectangle COK,
CH = csijd^sinA.
Donc le volume du parallélipipède sera
vol. (a, b, c) •=! abetinAûn^siny-y
et, en y substituant Texpression citée au commencement de cet article, pour sin A, on obtiendra le volume de ce corps en fonction des arêtes et des angles qu'elles forment entre elles, savoir :
vol. («, by c) r= ahc^i ~cos*a — co8*6 — coft*y-H acosacosSeosy.
Cette expression pourrait aussi se calculer aisément par logarithmes, car elle se décomposerait en quatre facteurs , attendu que le polynôme sous le radical provient (n^ 437) de la différence
sin * 6 sin ^ 7 — ( cos a — cos 6 COS7 ) '.
