Si Ton considère la pyramide qui aurait pour

402 CHAPITRE XVIU.

arêtes OA, (M, OC, et pour base le triangle ABC, elle sera évidemment le sixième du parallélipipède ^e nous venons de calculer ; et d^ailleurs, comme en désignant les trois côtés de la base par

BC = «', CA = b', AB = c',

il serai t aisé de calculer les trpis quantités cos oc , cos ë , cos y, on arriverait ainsi à trouver le volume de la pyramide, exprimé seulement au moyen de ses six arêtes. Parmi ces droites , il est bon d^observer que a et a' sont deux arêtes opposées, ainsi que b avec i', et c avec c\ ^

§ VI. Résolution d'un triangle sphéri^ue, dont les. trois côtés sont très-petits par rapport au rayon de la -sphère.

FiG. 63. 491. Soit un triangle sphérique ABC dont les côtés ont pour longueurs absolues a y &, c, et qui est tracé sur une sphère dont le rayon OA = r. Nous avons fait observer (n^ 452) que les sinus, cosinus,. . . . qui entraient dans la formule (i) et dans toutes celles qui en ont été déduites, ne désignaient pas les lignes trigonométriques des arcs AB , AC , BC , eux-mêmes : mais seulement les sinus y cosinus,... d'arcs semblables k ceux-ci ^ et tracés sur une sphère dont le rayon serait Funité. Or, puisque deux arcs semblables sont toujours entre eux comme leurs rayons , il s'ensuit que les arcs que nous avons désignés jusqu'à présent par a, 6, y, sont liés avec ]*es longueurs absolues a , & , c , par les relations

et c^est effectivement de là qu'il faudrait déduire les va-

TAIGONOMltTRIE SPHERIQUE. 4^^

leurs de a , 6 , y , si les cotés étaient donnés en grandeur absolue, par exemple en mètres. Mais il peut arriver que ces côtés a y b , c, soient très-petits par rapport au rayon /* de la sphère ; comme dans la Géodésie , où les côtés des triangles que Ton conçoit tracés sur le globe terrestre, bien qu^ayant plusieurs lieues de longueur , sont encore très-petits relativement au rayon du globe, dont la valeur moyenne est de 1092 lieues de 4 kilomètres. Alors les

rapports -, -, -, étant des fractions très-faibles , ré-

pondraient k des arcs a , S, y, qui se trouveraient beaucoup au-dessous de i^^ of, pour des arcs aussi petits, les tables de logarithmes n^oâri raient plus assez d'exactitude, et il devient à la fois plus rigoureux et plus court de ramener la résolution de pareils triangles à celle de triangles rectîlîgnes. Nous allons donc démontrer le principe sur lequel repose celte réduction.

492. En substituant les valeurs précédentes de a^ ë^y dans la formule (i), elle donne

CCS A =

ces ços - ces -

siti- sin-

mais si Ton développe les sinus et les cosinus , en négligeant les termes au-dessous de -- , on aura

cos-=:i , ^ >— *»

cos-=i --I n-y—i,

sm - = T-r ,

. c c sm - = -

4o4 CHAPITRE XYIII.

valeurs quij substituées dans l'expression de cos A , donneront , en i^^gligeant toujours les puissances supérieures à r*, un résultat dont l'erreur sera néanmoins de l'ordre -j , parce que le dénominateur renferme le facteur — , et il viendra

cosA =

Mais en supprimant le diviseur commun r*, et développant le facteur

puis négligeant les termes où entrera r^, nous aurons enfin

(l5) C0SA= 7 ! 7-7 ; .

493. Maintenant y si l'on posait ici r= oo , le triangle sphérique deviendrait un triangle rectiligne ayant les mêmes côtés a, i, c, mais dont les angles A', B', C, seraient différents de A, B, C; et la form.uie (|5) donnerait

Ô^ + C»— tf»

cos A' = r ,