La dérivée do log.r est la limite du rapport

lojf IX -\- h) — \o^x

lorsque h tend vers zéro. Or, en posant h = xr, on peut mettre le rapport sous la forme

— log (1 +»)--- log (i + a)«; (i)

et, comme le second facteur du secondmem bre tend vers log e^ c'est-à-dire vers Tunité, lorsqu'on fait tendre h et par suite a vers zéro, on voit que la dérivée de log œ est

Cette dérivée serait

Log g

si le logarithme considéré n'était pas népérien; car alors le second facteur du deuxième membre de la relation (1) aurait pour limite Log^.

4iT. La dérivée de sini7- est la limite du rapport

sin {x 4- ^) — si II X h

lorsque h tend vers zéro.

Or, la formule

sin (x -\- h) — sin x = 2 sin;^ cos Ix + 3)' (-)

permet de donner au rapport précédent la forme

sin n

-cos^jt?+-j.

Mais, lorsque h tend vers zéro, le premier facteur tend vers l'unité et le second vers cos j:; la dérivée de sinj:* est donc cosjr.

DérÎTées des fonctions de fonctions

4S* Suivant un usage généralement adopté, nous indiquerons désormais Taccroissement (positif ou négatif. d*une quantité en plaçant la lettre A devant le symbole qui représente cette quantité. Ainsi Taccroissement de la variablex, que nous avons jusqu'ici désigné par A, sera désigné par lur, et Taccroissement correspondant

f 'x -}- Ax — f X

de la fonction /y — -/" ./ sera représenté par

ou

Ay.

Cette notation très expressive permet d'éviter la confusion, surtout dans le cas où Ton a à considérer les accroissements de plusieurs quantités.

iO. Cola posé, considérons une fonction de fonction définie par les relations

Attribuons à la variable indépendante j:* un accroissement Ix] H prendra dès lors un accroissement lu, auquel répondra H son tour un accroissement A/y de la fonction y. D'ailleurs, quand Aj:: tend vers zéro, A?/ tend lui-môme vers zéro et par suite aussi Ay. Si donc, dans Tidentité

Ay Ay Am

Ad; Au Aa?

on passe à la limite pour A5: = o, et si, comme nous le supposons, les fonctions /(w) et <^{x) ont des dérivées déter-

niinéos, le second membre deviendra

et par suite la fonction y aura une dérivée déterminée et donnée par la formule

y' = /'(u). cp'(a?). (4)

Donc : la dérivée cVune fonction de fonction est égale au produit des dérivées des fonctionff dont elle est formée. Exemples : Si // désigne une fonction de r, on a

(M'«)' = mw"*~'. n' [m étant entier et positif)

(sia u)' = cos u, u'

(log «)' = -• u' (m étant positif).

oO. La démonstration précédente suppose que \u ne soit pas nul pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et un nombre e aussi petit qu'on veut. Mais, dans ce cas, Ay est nul dans le même intervalle et Ton a simultanément

y = o, cp' [x) = O,

de sorte que la relation (4) est encore vérifiée et que le théorème subsiste.

ï>l. Nous n'avons considéré que le cas d'une fonction intermédiaire w; s'il y en avait plusieurs ti, r, u\ en d'autres termes si la fonction y était définie par les relations

y = F (m), u = f (r), t? = © (tr), to=z^ (x),

on partirait de l'identité

- A^ Ay^ Am At? Atr

Aa? Aw Aï? Am?' Aa?

d'où, h la limite pour lx = o, résulterait la relation

qui s'énonce, en langage ordinaire, comme au n° 50. ExE3iPLE : Soit proposé de trouver la dérivée de

on a ICI

Donc

ou

y = log ^sin^ Ij (5)

y = log M ; u = v^^ V = sin tr, te = - • (6)

y = — 2v, COS 10, .-T ; (7)

/ = -• 2 sin f • COS - - ; (8)

et enfin

y' = - cotg |- (9)

Dans la pratique, on se dispense d'introduire ?/, r, «r, c'està-dire d'écrire les expressions (6) et (7). On obtient immédiatement la relation (8) en disant :

La dérivée de // est égale à la dérivée de log ( sin^- j

qui est -T-y multipliée par la dérivée de sin--» qui est s I n '^ •X« tj

2 sin ';j multipliée par la dérivée de sin -» qui est cos -

multipliée par la dérivée de 5 qui est -.

Dérivée d'une fonction inverse

r>2. Soit y=f{x) une fonction et x = 5 (y) la fonction inverse. \x et Ay étant des accroissements correspondants, qui tendent simultanément vers zéro, on a indentiqueraent

Ay~ V

Si donc la fonction directe y = f (•/') a une dérivée déterminée /' {x) et diflTérente de zéro, le rapport — aura pour

limite 777— X ' en d'autres termes, la fonction inverse .r = o (u)

aura une dérivée déterminée

Ainsi : la dérivée iVuiiP fonction inverse est égale à la valeur réciproque de la dérivée de la fonction directe,

?>Ci. Exemple :

1" Soit //= arc sin./* la fonction inverse de x =-^ sin y. Quelle que soit celle des déterminations de /y que Ton considère (n*" 24), on aura , d'après la règle précédente,

cos

y Vl — sin*-^y VJ — x^

le radical devant ôtre pris avec le signe de cos y; par exemple, il aura le signe +, s'il s'agit de l'arc y, compris

entre — ^ et ^ dont le sinus est x. Pour toute autre détermination y = At: + (— 1 f y,, on aura y' -— (— 1)* //,;

2** Soit // = a' dont la fonction inverse est x = r^'

logrt

On aura

y' = — ' — = y logûr = a* loga yioga

Il importe d'ailleurs de savoir trouver cette dérivée directement. C'est la limite du rapport

Ao? Aa;

lorsque A.r tend vers zéro. Or, si Ton pose

le second facteur devient

ttlo^g lo^ a .

il a donc pour limite log«, lorsque A.r et par suite a tendent vers zéro, vu que son dénominateur a pour limite Tunité.

En particulier e' a pour dérivée ^'.

Le produit Ar"" de ^' par un facteur constant A est d'ailleurs la spuIp fonction dr .r qui sr reproduise par la dérivation. En effet, soit y une fonction de jt telle qu'on ait

y = V ou 'I. = 1.

Les deux membres de cette dernière égalité sont respectivement les dérivées de log y et de x ; et, comme deux fonctions qui ont la môme dérivée ne peuvent différer quo par une constante r, on aura

log y = 07 -f- c d'où

y = e*+* = e^, e* = Ae*

Dérivée d'un produit

o^. Soit le produit

de deux fonctions de la variable x.

On a successivement

Ay = (m -|- Ati) [v -[- Al?) — uv z=z tiAu -(- ^^^ 4" ^^ ^^

Ay Atf , Au , Au Av ^

-J6 = îi — + t? — -(- — — Aa?

Ao? Aa? ' Aa? ' Aâ? Aâ?

d'où, en passant à la limite pour A^= o,

y' =ui)' ^vu\ (il)

Donc: la dérivée (Tun produit de deux facteurs s'obtient en multipliant chaque fcLcteur par la dérivée dr Vautre et ajoutant.

La formule précédente peut s'écrire

î^' = îi' + ^. (12)

Lorsque — est positif, ce ra;)])(>rt est T'gal à la dérivée de

log u\ on convient d'après cela de noinmor, dans tous les cas, dérivée logarithmique d'u i^ foiv:tlon u le rapport de la dérivée de la fonction à celte fonction elle-mùnie.

La formule (12) s'énonce aloi'3 : L'i drrirép logarithmique d'un produit e.<t égi^e à lu som^t" df*s dérivées logarithmiçues drs facteurs.

Outre sa simplicité, cat énf)n3.i oITro l'avantage de s'appliquer sans modification au cas d'un nombre quelconque de facteurs. Kn eiïet, soit

c\i/:rL i?(Fi.mtlsiual. 4

y = tiv j]

On a successivement

Dérivée d'une puissance

55. Le cas précédent contient celui d'une puissance >/ = «" dont l'exposant est entier et positif. On a alors

d'où

formule déjà trouvée (n* 49),

Cette formule s'étend au cas où l'exposant m est quelconque, » étant alors supposé positif. On a, en effet, dans cette hypothèse (n*25),

d'où l'on déduit, par le théorème des fonctions de fonctions

Donc ; la dérivée d'un radical dtt second degré s'obtient en divisant la dérivée de la quantité sous le radical par le double du radical.

Dérivée d'un quolient

ISO. Soit le quotient

On suppose que v soit différent de zéro pour la valeur considérée de la variable x dont ii et v dépendent. On peut alors chasser le dénominateur et écrire

u = vy; d'où (V 54)

ei enfin

^^ """ ^^ ^^mmm ^* *

\insi : la dérivée logarithmique d'un quotient est égale à la dérivée logarithmique du dividende moins la dérivée logarithmique du diviseur.

On peut dire encore, en écrivant la formule précédente sous la forme

, vu! — Ml?'

La dérivée d'une fraction s'obtient en divisant par le carré du dénominateur le produit du dénominateur par la dérivée du numérateur moins le produit du numérateur par la dérivée du dénominateur.

Signalons enfin le cas où w = 1 ; on a alors

et

En particulier, la dérivée de - est — 7^*

Dérivée d'un déterminant (')