VA A
Ce rapport croît donc indéfiniment lorsque h tend vers zéro.
2* Soit à trouver la dérivée de
¥ ix) •= X sin — î
pour x=^o On a ici
F(^) = Asin|, F(o)=:o.
et le rapport (1) a pour expression
sin 7»
ri
qui, lorsque h tend vers zéro, oscille entre — 1 et -f-1 sans tendre vers aucune limite.
3"* Soit, enfin, proposé de trouver la dérivée de
pour jr ^^ On a
~" i i + eh
et le rapport (1) a pour expression
i +eh
Or, ce rapport a pour limite zéro lorsque A tend vers zéro par des valeurs positives, et il a pour limite 1 lorsque h tend vers zéro par des valeurs négatives. La fonction proposée n'a donc pas de dérivée déterminée pour a: = 2.
CALCUL tRPINITiSIMAL. 3
35. On a signalé, dans ces derniers temps, des fonctions continues dont la dérivée n'est déterminée pour aucune des valeurs de la variable comprises dans un intervalle fini. Mais ce sont là des fonctions anormales qui ne jouent aucun rôle dans les applications et dont il ne saurait être question dans cet ouvrage. Nous ne considérerons que des fonctions ayant une dérivée déterminée, sauf pour certaines valeurs isolées de la variable.
Mais avant d'étudier les règles de la dérivation, nous devons faire connaître quelques propriétés des dérivées qui offrent un grand intérêt.
Principe de Ko Ile
36. Si Fi-r) s'annule pour x = a rt pour x = i, et si sa dérivée F' (x) est déterminée pour toute valeur de x comprise dans r intervalle (a, A), il existe^ dans cet intervalle^ au moins une valeur de x pour laquelle la dérivée F'[x) est égale à zéro.
En effet, \Hx) admet certainement dans Tintervalle (^/, b) des valeurs différentesde zéro; car, si elle était constamment nulle dans cet intervalle, il en serait de môme de sa dérivée, et le théorème serait démontré.
Supposons, par exemple, que F (,/) admette des valeurs positives dans rintervallc {a, b), et considérons la plus grande F (c) de ces valeurs positives; la quantité r, qui, d'après sa définition, appartient à l'intervalle [a^ b), ne saurait être ni a ni i, car F [c) est positif, tandis que F [a) et F (6) sont nuls. Donc, si Ton désigne par h un nombre positif tel que c — A cl r -|-A appartiennent à Tintervalle (r/, b), les dill'érences F [c — h) — F (c ), ¥[c -\- h) — F (r) seront négatives et par suite les rapports
V {'' — h) — F(<-) Fi>+ //) — Fi'c)
seront, le premier positif, l'autre négatif. Mais, puisque la fonction F(j*) admet pour x^=-c une dérivée déterminée, les
deux rapports en question doivent tendre vers une limite commune lorsque h tend vers zéro. D'ailleurs, le premier, qui est positif, ne peut tendre que vers une limite positive ou nulle, et le second, qui est négatif, ne peut avoir qu'unelimite négative ou nulle ; donc cette limite commune est nulle et Ton a F' [c) = o.
Cette proposition attribuée à UoUe est d*une grande utilité en analyse, notamment dans la théorie des équations.
Théorème des aceroissciiieuls Unis
iJT. Si F(.r) Pt :^[x) ont des drrivrfs déterminées dans Vintfrvalle [a^ A), et si ^ (.r) ne s'annule pas dans cet intervalle^ on aura
V{U\ — Via) V'ic] ..,
e étant un nombre ronrenablement choisi entre a et b. En eiïet, la fonction
. , X T- - . j- ¥ [à) — ¥ia) r . , ...
s'annule évidemment pour .r = a et pour x = b. D'ailleurs, pour toute valeur de .r située dans Tintervalle («, A), elle a une dérivée déterminée, car on a
r ■' \ u*^ \ Fi^>) — Fia)
Donc, d'après le théorème de Rolle, cette dérivée s'annule pour une certaine valeur c de x comprise entre « et i ; de là résulte la relation
V [Cj — r- 9 (c) = O,
cl par suite la relation (4), que l'on diduit de la précédente en divisant par la quantité 9' [c) qui, par hypothèse, n'est pas nulle.
38. On écrit souvent cette formule d'autre Façon. On it toujours poser :
a = as, b = X -\- h et c = x -\- t)h;
tant ici un nombre fini d'ailleurs positif ou négatif, et 9 certain nombre, inconnu, mais compris entre 0 et 1 ; la mute (4) devient ainsi
F[ar + A)— l-'(j;1 P Ix + SA >
)ans le cas particulier où ç [x) =j; on a
Fix-\-h)— F (a:; 3= AF {x + 6A). (0)
ition fondamentale à laquelle on donne le nom de forimift> accroi.isemfiiils finis; on \oil <\u' elle suppose F (./) conuc, mais non F' (j-), qui n"est astreinte qu'à avoir des eurs déterminées entre .r et j; + h.
C»nséf|iieiice ■■elalivo •> dciiv foiiclioiis nviint In iiit^iiic défivée
lit. On a vu que si une fimction est constante dans un
tain intervalle, sa dérivée est nulle dans le même:
ervuUe, '
ja réciproque est vraie et résulte immédiatement de ht
mule (6).
la effet, soient jt eljr-\-k deux valeurs quelconques com-
ses entre a et ô, et supposons F' (r) conslitmment nulle
is l'intervalle [n, b); le second membre de la relation ((î)
a nul, cl par suite on aura :
qui prouve que la fonction F (j") a la même valeur pour IX valeurs quelconques de x choisies îi volonté dans l'in-
lervalle ((7, b). Ainsi, lorsque la dérivée F' [x) d'une fonction esi constamment nulle dans un intervalle [a^ i), la fonction est constante dans le même intervalle.
'\Om II suit de là que si deux fonctions f [x) et <p [x) ont fies dérivées respectivement égales pour toutes les valeurs de jc comprises dans un intervalle [a^ 6), leur différence reste constante dans cet intervalle.
En effet, en posant ^l (x) = / [x] — 9 [x)^ on a
01% par hypothèse, -V (x) est nulle pour toutes les valeurs de X comprises entre a et b ; donc 'i; {x) est constante dans l'intervalle [a, b).
On énonce plus rapidement ce théorème en disant que f/eux fonctions, qui ont la même dérivée^ nr peuvent différer €jue par une constante.
"SI. On entend par fonction primitive (n** 5) d'une fonction/(./) une fonction assujettie seulement à admettre/ [x pour dérivée.
Soit F (./■) une fonction primitive de / (./). L'expression
OÙ C désigne une constante quelconque, sera encore (n° 33, 3") une fonction primitive de / {x). Réciproquement, toute fonction primitive de / (.x),ne pouvant différer de F [x] que par une constante (n° 40), résultera de (7) par un choix convenable de la constante C.
Veut-on, par exemple, la fonction primitive qui prend la valeur A pour x = al on choisira C de telle sorte qu'on ait
F (a) -h C r= A, ce qui donne
C = A — F (a), et par suite
pour la fonction primitive demandée.
S particulier,
i celle des fonctions primitives qui s'annule pour x = a,
~. Ainsi, en revenant au pn)blème des quadratures et gnitnt p«r a l'abscisse Oi de l'ordonnée fixe ïA (n* 4'. me l'airo du Irnp^zc mixtilignc aAMji, s'annule pour - a, on obtiendra l'expression de l'aire de ce tnipèze en ■chant une fonction primitive F [r] (n'imporle laquelle') a fonction / (.t) qui exprime r<irdonnée courante jj-M de ourbe 1*0, puis retranchant de F (./■) sa valeur F [oj
(■lion oi'oissiiule un di^oi'otssniite
3. On dit qu'une f<mclion / (j) est croixxanle </aiis un rrai/e donné [j'q, X) si, pour tout système de deux urs a et & prises daus ccl intervalle, l'inégalité
aine
, au coniraire, l'inégalité (9) entraîne
fib) <f,a^
nclion est dite drtroissante dans l'intervalle considéré. Jiir qu'une fonction continue f (.r) soif croisxnntfi danx niervath 'sq. X) il faut et il xiiffit qup sa dêrin'-fi toit tamment positiip dans cet interrallc. xauf pour une on ieurs valeurs isolées de a- qui annulent cette dérivée. 1 condition est nécessaire : En effet, puisque la fonciion
est croissante dans Tintervalle {xq, X), le rapport
est positif. Donc, sa limite lorsque, a restant fixe, b tend vers a, c'est-à-dire /' (rt), est positive ou nulle. Ainsi pour toute valeur a comprise entre Xq et X, la dérivée /' (.r) est positive ou nulle. D'ailleurs, elle ne saurait ôtre nulle pour un intervalle fini, compris entre Jq et X, si petit qu'il soit, vu que la fonction serait constante dans cet intervalle, tandis qu'on la suppose croissante.
Pour prouver que la condition est suffisante, nous distinguerons deux cas :
1" Supposons/' (.r) constamment positive dans Tintervalle (jtq, X). Pour tout système de valeurs a et A comprises entre Xq et X, on aura, par le théorème des accroissements finis,
c étant une valeur comprise entre a et i ; mais /' {c) est positif ; donc l'inégalité (9) entraine Tinégalité (10) et par suite / [x] est croissante dans l'intervalle (j'q» X) ;
2** Supposons que /' [x) soit positif dans Tintervalle (jCq» X) sauf pour un nombre fini de valeurs qui annulent cette dérivée. Considérons un intervalle [a^ b) compris entre x^ et X et soient
les valeurs de x comprises entre a et b qui annulent /" [x)^ ces valeurs étant supposées rangées par ordre de grandeur croissante. On aura par le théorème des accroissements finis
c étant un nombre compris entre a et Xj, mais qui n'est ni a, ni x^ ; /' (c) ne sera pas nul puisque, entre «5 et Xj, il n'y a aucune valeur de x qui annule /' {x) ; donc /' (c) sera
positif et comme x, — a Test aussi, on aura
f{x,)-^f{a)>0', on démontrerait de même les inégalités
f {h)—f[x,)>o, d'où Ton tire par addition
ce qui prouve que / {x) est croissante dans l'intervalle (j-q, X), puisque a et b sont choisies à volonté dans cet intervalle.
On démontrerait d'une manière analogue la proposition suivante :
Pour qtùme fonction continue f{x) soit décroissante dans un inte/Talle (xq, X), il faut et il suffit que sa dérivée soit constamment négative dans cet intervalle^ sauf pour une ou plusieurs valeurs isolées de x qui annulent cette dérivée.
i-i. Voici des exemples simples :
r Soit F ix) -^ ax + * ; on a F' (x) = a. Si donc a est positif, F [x) est toujours croissante, et si a •est négatif, F" [x) est toujours décroissante;
. 2* Soit
F [x) = ax^ -\- bx -{- c\ on a
F' {x) = 2aa? + b.
Cette dérivée s'annule donc pour x = — — • Si a est positif, F' {x) est négative pour les valeurs de x moindres que — ô~ ^t positive pour les valeurs de x qui surpassent celte valeur ; donc le trinôme ax* -\- bx -\- c décroît dans l'intervalle ( — oo, — — j et croît 'dans l'intervalle
( — — > H- oo Ven sorte qu'il est minimum pour x = — — •
Lorsque a est négatif, c'est Tinverse qui a lieu ; F' [x) est positive pour x <^ — — » et négative pour x > — ô"' le trinôme croît dans Tintervalle ( — oo, — — j et décroît dans
l'intervalle ( — —, -f- oo V) il est maximum pour x = — — • 3" Soit
F ix) = ax^ -f- hx'^ -^ ex -\- d\ on a
F' [x) rz: ^ax'^ + V)X + C.
Si b- — *iac est négatifs le trinôme du second degré F'(^:) est, d'après un théorème connu, toujours de môme signe que son premier terme ; F(,r) est donc toujours croissante, si a est positif, ou toujours décroissante si a est négatif.
Si é" — 3«c est positifs le trinôme F' (./) s'annule pour ileux valeurs réelles de x ; désignons ces deux valeurs par X et g, et soit a < 3^ F" (j^) ^st alors de inêmc signe que son premier terme, sauf pour les valeurs de x comprises entre a et 3- Donc, en considérant les intervalles,
(~oc, a), (a, p), (p, +3c),
on voit que, si a est positif, F [x) croît dans les intervalles extrêmes et décroît dans Tinter valle moyen, tandis que, si a est négatif, F [x) croît dans l'intervalle moyen et décroît dans les intervalles extrêmes. Dans le premier cas, a répond à un maximum et ^ à un minimum ; dans le second cas, 2 rt^pond à un minimum et 3 à un maximum.
Dtrrivoes des fouettions simples
4o. Nous donnons le nom de fonctions simples aux trois fonctions : jf'{m étant entier et positif), \ogx (jc étant positif^ et sinr.
Quand on connaîtra les dérivées de ces trois fonctions, les règles de dérivation des fonctions de fonction, des fonctions inverses et des fonctions composées permettront de calculer les dérivées de toutes les fonctions susceptibles d'être exprimées explicitement par les signes usités en Algèbre et en Trigonométrie.
La dérivée j:"\ ni étant entier et positif, est déjà connue (n^ 33) ; elle est égale à mx'"'.
Il ne reste donc qu'à chercher la dérivée de iogjt* et celle de sin J-.
