Aie, -ar -|- As
ou, en vertu d'une propriété élémentaire des déterminants.
F (a? + Ao?) = et par suite
Ail, r Aw, z
At?
Au, Ao Atr, A^r
F (a? 4- Aa?) — F (a?) =
Ao;
Au
At?
Ao;
* Aa?
Aî«?
te. .
Aa?
' Ar
Aa? Aa?
Aie A£ Aa? Aa?
Ao?
Lorsque îix tend vers zéro, les deux premiers termes du second membre tendent respectivement vers
to, s'
tandis que le troisième terme tend vers zéro, puisqu'il est le produit de deux facteurs dont Tun a une limite
linie
W , éS
et dont l'autre tend vers zéro.
(•) Nous supposons connue du lecteur la throrie élémentaire des déterminants qui se trouve aujourd'hui dans tous les Traités d'algèbre.
On a donc finalement :
d'où cette règle :
La dérv^ée d'un déterminant est égale à la somme des éléierminants que Von obtient en remplaçant successivement chaque ligne verticale [ou horizontale) par une autre forniée avec les dérivées des termes de cette même ligne.
Dérivées des fonelions circulaires
ÎSO. Nous savons déjà que la dérivée de sin x est cos x.
La dérivée de cos x s'obtiendrait par un calcul analogue. Mais le théorème des fonctions de fonction la donne immédiatement. On a, en effet :
cos
aî = sin^|— x\
Sa dérivée es^ donc égale à cosf^ — x\ multiplié par la
dérivée de^ — x qui est — 1 .
On a donc
Les dérivées de
(cos a?)' = — siïix.
smj7
tff a: = >
^ cos a?
sec 0? = — coso?
s'obtiennent par la règle de dérivation d'un quotient. On a ainsi :
(tga;r =
cos a?, cos a? — sin a? ( — sin g?) cos* a?
' cos^a;
sin* a? + cos' a?
cos* a?
sin a?
cos* a?
cos*a?
On en déduit, à l'aide du théorème des fonctions de fonction,
(cotg.)' = [tg (I - x)]' = -J = - ^,
59. Quant aux dérivées des fonctions circulaires inverses, on les obtient par la règle de difTérentiation des fonctions inversos. C'est ainsi que nous avons trouvé (n° 65) pour la dérivée de y = ave sin x.
te radical devant avoir le signe de ces y.
Soit y = arc cos x. on a d'abord x = cos ij, puis en différentiant par rapport à z et ayant égard au théorème des fonctions de fonction
i — — 5Ln>/, y'.
d'où
le radical devant dtrii pris avec le signe de sin >/. Soit encore y = arc tg x ; on aura successivement
y =cos'y — j j^^t-
On trouve de même : pour // = arc cotgjr.
et pour y = arc séc a:,
ooy/x^ — i
le radical devant être pris avec le signe de tg y. Enfin pour y = arc coséc x, on a
X sjx^ — 1
le radical devant être pris avec le signe de cotg y.
Il est à remarquer que, comme logx^ les fonctions circulai rps inverses ont des dérivées algébriques.
Expression de i'accroissemenl d'une fonelion
de plusieurs variables
OO. Le théorème des fonctions de fonction, les règles relatives à la dérivation d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une puissance, ne sont que des cas particuliers de la règle de dérivation des fonctions composées. Mais, avant d'exposer cette règle, il convient d'étendre à une fonction de plusieurs variables la formule fondamentale (3) du n* 6.
A cet effet, une définition nouvelle est nécessaire.
Soit w = / (.r, y, z) une fonction de plusieurs variables ar, y, c. On peut prendre la dérivée de u en considérant x comme seule variable et traitant y et z comme des constantes. On donne alors à l'expression ainsi obtenue le nom de dérivée partielle de u par rapport à x et on la désigne par
fx (^, Vi ^).
Il y a de môme une dérivée partielle par rapport à y, et une dérivée partielle par rapport à 3 ; on les désigne respectivement par f\j (.r, y, z) et/', (j?, y, z).
Par exemple, soit
On a
/^i = 2Aa? + 2Dy, fy = «By + 2Da?, /i = âCi-.
Désormais, quand nous parlerons d'une fonction de plusieurs variables, il sera toujours sous-entendu que cette fonction est bien définie et continue, et qu'elle admet des dérivées partielles continues au moins dans un certain champ. Nos raisonnements ne s'étendront qu'à un champ assez restreint pour que ces conditions soient remplies.
61. Cela posé, voici la formule que nous avons en vue : Si Von désigne respectivement par Ax, Ay, Ajs, les accroissements donnés à plusieurs variables x, y, z, et par Am V accroissement correspondant d^un fonction u = f {x^ y, z,) de ces variables^ on a :
ÙLU = fi {x, y, z) Aa? + /•; (.T, y, z) ^y + fi (a?, y, z) ùkz .
+ aAo; + pAy + yA^, ^^ ^
OÙ a, g, Y, désignent des quantités qui tendent vers zéro en même temps que Aa:, Ay, A;2.
En effet, on a
Am == /-(a? -h A^, y + Ay, z + A^) — /"(a?, y, z) ou
Am = [/-(a? + Aâ7, y 4- Ay, z + A^) — /• (a?, y + Ay, ^ + Ax)] 4- \f[x, y + Ay, ^ + A^) — /"(a;, y, z + A^)]
et, en appliquant à chaque crochet le théorème des accroissements finis (n° 36),
Am = Aa? fx (a? + OAa?, y + ^y» -^ + ^^) + Ay /•; (^. y + ^^3/» ^ + ^-î^)
+ A^ A' («?, y, '3' + fA^^),
où 6, X, [X désignent des nombres compris entre 0 et 1.
Posons actuellement
n (^ + ÔAa:, y + Ay, z + b.z) — n (^» 3/, '^) = * r'y (a?, y + XAy, ^ + Az) — /; te, y, z) = p,
a, 3, Y tendront vers zéro en même temps que l^x, Ay, Az. n suffit dès lors d'ajouter ces égalités, après les avoir respectivement multipliées par Aj:, Ay, A:;, pour obtenir la formule (12).
Dérivée d'une fonction composée
Gâ. 11 est aisé maintenant de trouver la dérivée d'une fonction composée
c'est-à-dire d'une fonction de plusieurs variables m, v, m;, qui sont à leur tour des fonctions d'une môme variable indépendante X,
Lorsque x prend Taccroissement Ajt, les fonctions composantes 1/, r, ic prennent respectivement les accroissements Af/, Av, Aie;, et Taccroissement correspondant Au> de la fonction composée est, d'après le numéro précédent, donné par la formule
Aù> = fi (m, V, to) Au -}- fl (w, t;, u)) At? + fio (wi v» ^o) ùkto
où a, ^, Y» désignent des quantités qui tendent vers zéro lorsqu'on fait tendre vers zéro Aj: et, par suite, Aw, Ar, At/;. Nous supposons d'ailleurs, il est presque superflu de le répéter, que la fonction (o admette des dérivées partielles continues et que t/, r, w admettent des dérivées ordinaires u'j v\ w' déterminées. Alors, si on divise les deux membres
cédenle par A^
on
;=«-zï+'^
lorsque Ax tend vers zéro ,
c'c d'une fonction composée est égale à la Us obtenus en multipliant ses dérivées par- •t aux fonctions composantes par les déri- ■jsantes. Tel est le thi^orème des fonctions
B quelques cas parlJcuIiers :
M + Bt! + Gw, A, B, C étant des conses partielles de u par rapport à », r, w sont , B, C ; on a donc
eu' = Au' + Bp' + Cio ;
sur la dérivée d'une somme.
elles de di par rapport à u, v, te sont rcsuiv, w ; on a donc
