v,ou' + UtO.V -f ,i
i-elatif à la dérivée d'un produit = «(;"'; les dérivées partiel les de II» parrapport
à M et & t; sont respectivement - et — uv^^ ; on a donc
, u , , vu — uv cd' = uvv^ = 1 :
c'est le théorème relatif à la dérivée d'un quotient;
4"" Dans le cas où il n'y a quioie fonction composante, c'est-à-dire lorsqu'on a
u étant une fonction de x, la formule (13) se réduit à
c'est le Ihéorètue des fonctions de fonction,
Usage du tliéorènie des fonctions composées
04. Le théorème des fonctions composées permet de ramener le calcul de la dérivée de toute fonction explicite d'une seule variable indépendante au calcul des dérivées des fonctions simples. Voici comment :
Toute fonction explicite w de la variable indépendante x résulte d'un nombre limité d'opérations effectuées successivement sur cette variable. S'il n'y a qu'une opération, on est en présence d'une fonction élémentaire; on peut donc trouver sa dérivée. S'il y a plusieurs opérations, la dernière devra être effectuée sur une ou plusieurs fonctions t/, t\ iv, .. déjà formées, et l'on aura:
Le théorème des fonctions composées ramènera alors la dérivation de w à celle des fonctions w, t% i6%... et à celle
des fonctions qui résultent de /(«, r, w^.,.) quand on y regarde tour à tour toutes les fonctions composantes sauf une comme des constantes. Si les fonctions i/, r, tr,... ne résultent pas d'une seule opération effectuée su la variable x^ on traitera chacune d'elles comme nous venons de l'indiquer pour (I), et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on tombe sur des fonctions élémentaires.
05. Quelques exercices sont indispensables pour apprendre à calculer les dérivées avec rapidité et sans hésitation. Aussi croyons-nous devoir traiter un certain nombre d'exemples :
1** Soit y = u^^ ti et v étant deux fonctions de x dont la première est supposée positive ; on a
logy = t? logM, d'où
et enfin
y' =u^-* {vu -\- uv'logu).
L'application du théorème des fonctions composées conduirait au môme résultat. En effet, les dérivées partielles de w" par rapport h u et k v étant respectivement r«/'"' et w' log u^ on a
î/' z= va*'-^w' 4- u*' logM.t?'.
Dans le cas particulier où m = i? = jr, on a :
(.-r*)' = a^ (1 -j- log œ) .
y = log U + «^ -F v/a + boô+x^ • On a
12' ' ▼ I I "islaA^bx 4- x^
2^ Soit
- + ^ + Vû^ + bx '\- x^ ^ -{- x-\-\j a -\- bx '\' c^
d'où
3*Soil
\ja -\- bx -^ ex
On a
ou, réductions faites.
^ a -\- b cos a?
LA DIFFERENTIELLE
Définition
OO. A la notion de la dérivée se rattache immédiatement celle de la différentielle, dont la conception est due à Leibnitz. Reprenons la relation fondamentale
Ay = y'bkX + iAa? (1)
de la page 8. C'est à la première partie y'\x du second membre qu'on donne le nom de différentielle. Ainsi, par définition, la différentielle d'une fonction y = / (ar) est le produit de la dérivée de la fonction par l'accroissement arbitraire de la variable indépendante x.
On représente cette différentielle par la lettre d que Ton place devant le symbole qui désigne la fonction. On a donc
dy = y'b^x ou df [x) = f [x] Aa?.
Cette définition, appliquée au cas où la fonction f (x) se réduit à la variable indépendante elle-même, donne
dx = Aa?, (2)
puisque la dérivée de x est égale à Tunité. On peut donc
d'où l'on déduit
LA DIFFÉRENTIELLE dy = y'dx.
Ainsi, en résumé :
La différentielle de la variable vulèpciidante n'est ^ue l'accroissement arbitraire de cette variable.
La différentielle d'une fonction est le produit de la vée de la fonction par la différentielle de la variable pendante.
La dérivée d'une fonction est égale au quotient de l férentielle de la fonction par la différentielle de la va. in dépendan le .
Ajoutons encore, d'après lHformuIe(t),que,5t l'on su l'accroissement Aj? de la variable infiniment petite pottr la valeur de x considérée la fonction a une d: déterminée et différente de zéro, la différentielle dy fonction est In valeur principale y'\xde l'accroissenien ni/tient petit \y de cette fonction.
iBilcrprélalioii yéoinétriquc de la dilfFéi'entîi
07. La différentielle dy esl susceptible d'une inlei-] Uon géométrique fort simple.
Soit G la courbe qui a pour abscisses les valeurs variable indépendante x et pour ordonnées les valeur responduntes de la fonclion y =■ f {x). Désignons res vement par 1 et N les points où l'ordonnée P'M' voisi PM rencontre la tangente MT au point M \x, y) et la lèle à OX menée par M. On a d'abord
dx = PP' = MN, puis
NI
attendu que chaque membre représente le coefficient angulaire de la tangente. On déduit de là Ni == t/'clx = rfy. Donc : la différmtipUe dy est égale à V accroissement
