IN = FI — PM
de r ordonnée de la tangente.
On voit de plus que x
IM'= NM' — NI = Ay — rfy = tAo?
Fio. 5
Lors donc que PP' est infiniment petit, si la tangente MT n'est parallèle à aucun des axes coordonnés, NI est un infiniment petit du môme ordre et IM' un infiniment petit d'un ordre supérieur.
DiiféreiilioUc^ d'une fonclion de fonclion
68. Considérons une fonction de fonction définie par les relations
y=/'(«)i w = ?Kt. («>)
On a, comme nous l'avons vu,
Introduisons la notation différentielle; cette relation
s écrira
dx ' ^^' dx
mais, -^ et -r- étant les quotients des différentielles de y et de
u par la différentielle dx de la variable indépendante, on peut supprimer le dénominateur commun dx et écrire
simplement
dy = f [u] du, (6)
11 résulte de là que, si Von a y =^ /('')? ^^ ^ toujours dij = f\u) du^ que u soit ou non la imriable indépendante.
Ainsi, tandis que la dérivée y' a deux expressions différentes,
suivant que u est ou non indépendante, la différentielle dy conserve toujours la même forme
dy = f[u) du.
On voit par là que Temploi de la différentielle est plus avantageux, au moins en théorie, que celui de la dérivée. On ne doit pas oublier toutefois que, dans la pratique, quand on calcule rfy, il faut, si u n'est pas la variable indépendante^ c'est-à-dire si Ton a w = ç(j^), remplacer du par sa valeur (^\x) dx.
Ainsi, soit
y =r log sin x ; on aura
dy == -: — a. sma? = -: dx = coiç^xdx,
^ sina? sin 0? "
69. Les avantages de l'emploi des différentielles apparaîtront de plus en plus clairement à mesure que nous avancerons dans l'étude du calcul infinitésimal. Il nous parait cependant utile d'insister ici encore un peu sur ce sujet.
Si y est une fonction de x^ on a, en désignant cette fonction par (^{x),
dy = ]p' (a?) dx ;
les différentielles dx et dy sont arbitraires, leur rapport seul est déterminé, et rien n'oblige à considérer x plutôt que
CALCUL INFnSITéSIMAL. 5
^j-Trjgr^ *!■■»-»■.
y comme étant la variable indépendante; Temploi des dérivées exige au contraire qu'on fasse un choix.
Plus généralement, considérons autant de variables qu'on voudra, x, y, 5, m, liées de telle sorte qu'on puisse les regarder comme des fonctions de l'une quelconque d'entre elles. Supposons qu'on regarde y, z, ?/, comme des fonctions de x^ on aura
dy = y'dXy dz = 2'dXy du = u'dx^
d"où
dy dz du
7 — r' — ~T — cix.
Si l'on veut alors prendre :;, par exemple, pour la variable indépendante, on pourra, sans nouveau calcul, obtenir les dérivées de j', y, u^ par rapport à :;; il suffira de diviser par (h^ ce qui donnera :
dx 1 dy ;/' du t/
dz z' dz z' dz z'
Tableau des difFéi-eul telles des fonctions usuelles
70. Voici le tableau des différentielles des fonctions dont nous avons calculé les dérivées dans le chapitre précédent :
d [a -{- hu -Y cv) = hdu -\- cdv d (uvw) du , dv . dw /u\ v^u — udv
UVÎO u V ' ÎO \v / V*
d [u"') = mu"'-^du, d {\Ju)=z
du
2\Jû
d logM = — > c/.(a") = rt'* loga,
du d (sin m) = cosudu, d :cos m) = — sin udu. d iisu) = — 5 — >
... V du .. , — ^«^ ./ * N du ^
afarcsm w) = -7=^'r/farccosî/)= ? effare tff?«)= 7—; — 5;
LA DIFFERENTIELLE
a, b, c sont des constantes; h, '', m; sont des variables indépendantes ou dépendantes ; enfin, danslcsdetix premières expressions de la dernière ligne, le radical a, pour la première, le signe de cosîi et, dans la seconde, le signe de sinï(.
DifFéi-ciiliclle totale d'une fonction de plusieurs variables indépendantes
71. D'après la formule (12) du chapitre précédent, l'accroissement de la fonction » de plusieurs variables j:, y, 2, se compose de deux parties que nous avons écrites sur deux lignes différentes pour les bien distinguer l'une de l'autre.
Supposons que les variables x, y, z soient indépendantes.
Par analogie avec ce qui a été dit pour les fonctions d'une seule variable, on donne à la partie de A» qui est sur la première ligne le nom de différPtiliflle loiale de la fonction u et on la désigne par du. On a donc, par définition,
du = /i (ir, y, ï) Aa; -|- /•; i>, y, s) &.y + fi (se, y, z) Iz (7)
On voit, en outre, que, si Aj-, A^, A: sont inTmiment petits du premier ordre et si les dérivées partielles /,', /^', /,' ne sont pas nulles simultanément, l'accroissement A» de la fonction sera aussi un infiniment petit du premier ordre, dont la valeur principale sera la différentielle totale du do cette fonction.
On peut d'ailleurs constater, en divisant l'une par l'autre les expressions de Aw et de du, que, si les dérivées partielles /i', //,/,' ne sont pas toutes nulles, le rapport
Am a^x -(- PAV + tA»
du I riàx + ri^y]-/:^z
pour limite l'unité lorsque Ax, Ay, A- tendent vers zéro.
du moins tant que les rapports des accroissements Ax, Ay, £iz à Tun d'eux restent arbitraires.
La relation (7), appliquée successivement au ca§ où la fonction se réduit tour à tour à »r, y ou 5, donne
dx = Aa?, dt/ = Ay, dz 2= Ax.
On peut donc écrire, au lieu de (7),
du = /•; (a?, y, z) dx -j- f'y (x, y, z) dy + /y (a?, y, -?) û?^. (8)
Mais, d'après la définition de la différentielle d'une fonction d'une seule variable (n** 66), les termes du second membre de la relation (8) sont les différentielles respectives de u considérée tour à tour comme une fonction de la seule variable .r y ou :; ; on donne à ces expressions
fx ( '% y, ^) dx, fy(x, y, z) dy, U, [x, y, z) dz
le nom de différentielles partielles de u par rapport à jr, y, s, et la relation (8) s'énonce de la manière suivante :
La différentielle totale d'une fonction de j:ilusieurs variables indépendantes est égale à la somme des différentielles partielles de cette fonction.
7Ii. Un grand nombre d'analystes écrivent la formule (8) sous la forme
du , . du , . du .
du =^ -rr dx 4- -:- dy + zr dz , dx ' dy ^ ^ dz
Toutefois cette notation peut entraîner de graves confusions, les divers du qui figurent dans cette formule ayant des significations différentes. Pour éviter toute erreur, quelques géomètres, à l'imitation d'Euler et de Laplace, écrivent
les parenthèses indiquant que
'du\ fdu\ f—\
/du\ (du\
W \dyr
\dzj
représentent simplement les dérivées partielles par rapport a j^, à y et à :;. Mais, on ne saurait le dissimuler, l'emploi des parenthèses est un embarras. Aujourd'hui on préfère, à l'exemple de Jacobi, supprimer les parenthèses en employant une autre forme de d lorsqu'il s'agit de dérivées partielles. C'est cette dernière notation que nous adopterons ; nous désignerons donc les dérivées partielles de u par rapport à j-, à y et à :; par les symboles :
i^U ^u du
^x Dy ^z
Les différentielles partielles correspondantes seront, dès lors, représentées par
r- dx, z- dy, ~ dz,
ex ^U - -
et la différentielle totale par
Ainsi, soit u = x^tfz ; on aura
et enfin
du ~ x^y {3yzdx + 2x2 dy + xydz).
Propriétés tic la diiTércntielle totale
73. Voici deux propriétés de la différentielle totale qui ont la généralisation des propositions dfls n°'39et 40.
Si une fonction tt de pluiifurs variablex indépendantes ■, y, s, se réduit à une constante pour les valeurs de ces •ariables comprises respectivement entre certaines limites, la Hfférendelle totale du est nulle entre ces limites; et, réciiroquement, si la différentielle totale du est constamment iulle, la fonction est constante.
En effet, comme djr, dij, dz sont arbitraires, la condition ht =; o entraîne
du du du
3a! iy dx
i réciproquement. Or (n° 39) les conditions précédentes xpriment : la première que u est indépendant de x, la Bconde que u est indépendant de y, et la troisième que u est idépendant de :.
