Voici une application

Trouver la courbe dont les normales passent par un même oint.

Prenons ce point pour origine, el soient x et y les cooronnées rectangulaires d'un point quelconque de la ligne herchée. Le coefficient angulaire de la tangente étant

^, dx

ilui de la normale est

et Téquation do la normale est

Pour qu'elle passe par l'origine, il faut et il suffit qu'on

ait

dx

OU

œdx -\- ydy = o,

c'est-à-dire

et, par conséquent, d'après le théorème ci-dessus,

Les courbes demandées sont donc des cercles ayant pour centre le point de concours des normales.

». En appliquant le théorème précédent à la différence u — r de deux fonctions u et v de plusieurs variables indépendantes x^ y, 2, ..., on obtient la proposition suivante, qui est la généralisation de celle du n*^ 40 :

Si pour les valeurs des variables indépendantes x, y, Zy comprises respectivement entre certaines limites^ deux fonctions u et V ne diffèrent que par une constante ^ les différentielles totales du et dv sont égales; et, réciproquement, si les différentielles totales du et dv sont égales, les fonctions u et V ne diffèrent que par une constante.

Différentielle d'une fonction composée

76. Nous avons vu (page 58) que, si u, v, w sont des fonctions d'une même variable indépendante x, la dérivée par

rapport kx de la fonction composée w = /(w, i\ w) a pour |

expression

ce qui, avec nos nouvelles notations, peut s'écrire

day ?w rfw c)(i) g[ç^ ^ dïç

c/a? t)u <f a? "^ c)i? c/o? ^i^ dx

Si donc on multiplie par dx^ on a, pour la différentielle de la fonction composée,

diû i^'^ du 4-^ dv + ^ dîc. (ib)

Le second membre a la forme d'une différentielle totale (n** 72) ; toutefois ici du^ dc^ dtcne sont pas des différentielles de variables indépendantes^ c'est-à-dire des quantités arbitraires, mais au contraire des différentielles de fonctions d'une même variable.

77. La formule (10) subsiste dans le cas où w, v^ tv sont des fonctions de plusieurs variables indépendantes x^ y ; alors rfw, dt\ dw représentent les différentielles totales de ces fonctions w, r, ii\ de x et de y. La démonstration n'offre aucune difficulté. En effet, w étant en définitive une fonction des variables indépendantes x et y, on a

doy='---dx4~\-dy. (11)

D'autre part

^œ 'bu bx Dv ^x bîc 'bx

^(0 ?C0 ^H . Do> ^0 ^(1) ^l^

f>i/ bu by ' <)i7 t'y ' ho by

En portant ces valeurs dans la relation (il), on obtient :

expression qui n'est autre que (10), puisque les parenthèses représentent respectivement les différentielles totales r/?/, dv^ dtc.

Ce dernier théorème est très important; il en résulte que les règles de différentiation d'une sofume^ d*un produit^ d\in quotient et des puissances de fonctions d\me seule variable sont applicables au cas des fonctions de plusieurs variables indépendantes.

Principe de la superposition des petites variations

T8. Nous avons vu (n° 1\) que, si Aj:, A?/, As, ..., sont des variations infiniment petiles du premier ordre, l'accroissement \u de la fonction u =f [x, y, z^ ...) est, en négligeant les quantités d'ordres supérieurs au premier, donné par la formule

Donc, si une fonction dépend de quantités qui éprouvent des variations très petites^ la variation totale de la fonction est sensiblement égale à la somme algébrique des variations que cette fonction aurait subies, si chacune des quantités dont elle dépend eût varié seule.

« Le principe de la superposition des petits mouvements », dit Coumot dans son Traité des Fonctions^ « qui joue un rôle

« si important dans Texplication des phénomènes physiques, « n'est lui-môme qu'une conséquence du principe que Ton « vient d'énoncer et qu'on pourrait appeler le principe de la « superposition des petites variations. Ce principe, fait com- « prendre comment un nombre borné d'expériences fournit « les moyens de calculer les variations d'une quantité qui « dépend de plusieurs autres, suivant une loi inconnue, « pourvu que les variations de ces dernières quantités soient « renfermées dans des limites étroites. Car il suffira, à la « rigueur, d'observer les valeurs de Am pour autant de sys- « tèmes de valeurs de Ax, Ay, A:;, ..., qu'il y a de dérivées « partielles à déterminer numériquement dans l'équation (12), « et ensuite cette équation donnera \u en fonction linéaire « de Ax, Ay, As, ..., pour des valeurs très petites, mais d'ail- « leurs quelconques, de ces variations. L'art des observations « consiste à observer dans des circonstances qui permettent « de déterminer ces coefficients inconnus avec la plus grande « précision ; la théorie des chances fournit à ce sujet des M indications que nous n'avons pas à développer ici. »