DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE SUPÉRIEUR AU PREMIER

Dérivées et différentielles des divers ordres d'une

fonction d'une seule variable

79. La dérivée y oxxf'{x) d'une fonction de x est en général une fonction de cette variable ; elle admet donc elle-mômc une dérivée qu*on nomme dérivée seconde et que l'on' représente par y'' on f [x), La dérivée de cette dérivée seconde prend le nom de dérivée troisième et est représentée par y'" o\xf^'{x)^ et ainsi de suite.

On nomme différentielle seconde d'une fonction y = / (a) la différentielle de sa différentielle première dy = y'dx^ à condition de considérer, dans le calcul de cette nouvelle difiFérentielle, le facteur dx comme constant, c'est-à-dire comme indépendant de x. Dans cette hypothèse la dérivée de ydx est y^dx^ et, par suite, en désignant par dhj la difiFérentielle seconde, on a

d^y = [y'^dx] dx = y'dx^.

En prenant de môme la différentielle de dhj, dx étant toujours considéré comme constant, on a la différentielle troisième qu'on représente par d^y et qui a pour expression :

cPy = {y'"dx^) dx = y'"dx\ et ainsi de suite.

On déduit de là

d'où Ton voit qu'en définissant les différentielles successives comme nous venons de le faire, l'analogie avec la différentielle première se trouve conservée : de même que la dérivée première y' est égale au quotient de la différentielle première dy par la première puissance de la différentielle dx de la variable indépendante, la dérivée rt'"'"^, y ^"\ est égale au quotient de la différentielle n'^™*, d'y, par la puissance n'*'"*' de la différentielle dx de la variable indépendante.

Application aux fonctions élémentaires

80. Voici les dérivées successives de quelques fonctions usuelles:

1» Soit

on aura :

dx dœ^ ^ ^

-pi =z m (m — 1)... (m — n + 1) x"'-"

Si îïi est entier et positif, la dérivée //^'"^ est constante et égale à 1, 2, 3, ..., m, et les dérivées suivantes sont nulles. 2* Soit

y = \ofrx; on a

dy 1 , c?'v , o

dx X * dx^ ' '

3« Soit

on a:

En particulier

zne'^.

4*» Soit

y = sin (a? + a),

OL étant une constante.

On a

^ = cos(a? + a) =sin {^) + a +|j = sin Ta? + a + 2 1 j

En particulier, pour a = o et a =^» on a :

rf" sin a? . / , Tz\ d"^ cos x / , 7c\

5* Soit enfin

y = arc tgo?; on a

-7-= cos^y= cos y. cost/ c?a? y y w

-T-2 = — 2 cosy siny ;^ = — sin 2y cos^ y