cos^ j^ cos2j^ — 2 cos y sin y sin2y) cos^y

= — 2 cos 3y cos^ y

On en conclut, par induction,

dcG^

= {— Ij^-H. 2... (n — 1) cos'* y sinn {^ — y\

sauf à vt-rifier la généraliti; de. celle loi en prouvant, co qui we présenle aucune difficulli^, que, si la formule est vraie pour la «'*'™ dérivée, elle subsiste pour la dérivée d'ordre n-\- i.

Dérivt';cs|»articllesi des divers oi*dres d'une fouet ion de plu»«ieui's variables

Ul. Les dérivées partielles

d'une fonction n = f (.c, y, ;) de plusieurs variables sont elles-mêmes des fonctions de ces variables, et on peut prendre successivement les dérivées partielles de chacune d'elles par rapport à j", à y ou à ;. On obtient ainsi les dérivées jiartielïps <Ui xecotul ordre de la fonction «, tandis qu'on réserve le nom de tlêrii'i'cs partielles du premier ordre aux quantités ci-dessus.

En prenant la dérivée par rapport k x. à y ou k z des dérivées partielles du second ordre, on obtient les déritées parde/les du troisième ordre; et ainsi de suite.

Si west le nombre des variables j-, y,z, ...,qui entrent dans la fonction ;/, on obtient un nombre de dérivées partielles égal à m pour le premier ordre, à ni- pour le second ordre,.,... à m" pour le n"'"° ordre.

Mais les dérivées partielles ainsi obtenues pour un môme ordre supérieur à 1 ne sont pas toutes distinctes. Cela vèsulte du théorème suivant.

an. On peut, sans changer la valeur d'une dérivée partielle d'ordre quelconque, intervertir l'ordre des dérivations, it condition que la fonction et les dérivées partielles jusqu'à l'ordre indiqué soient continues.

Il suffit évidemment de démontrer la possibilité d'interver-

tir Tordre de deux dérivations successives ; le théorème général en résultera par un raisonnement analogue à celui qu'on emploie en arithmétique dans le théorème relatif à Tordre des facteurs d'un produit.

Soit donc u une fonction de plusieurs variables et

nio^.y). fy{oo.y) (i)

les dérivées partielles de ti par rapport à deux quelconques X et y des variables dont elle dépend ; pour plus de rapidité, nous omettons dans les parenthèses qui accompagnent les signes /', , f\j les variables autres que x et y, vu qu'elles restent constantes dans la question.

Il s'agit de prouver , que, si Ton prend la dérivée par rapport à// de la première des expressions (1) et la dérivée par rapport à x de la seconde, les deux résultats obtenus, que nous désignerons respectivement par

flx[co,y), /ïv(^, y),

sont les mêmes.

A cet effet, considérons l'expression

où Xq^ yoi ^1 ^ ^^^^ ^^s quantités déterminées. Si Ton pose

/ (^» .Vo + f^) — f (^1 ^o) = ? {^)^

on aura

U = <p (a?o + A) — ^ (Xq),

et, par suite, en vertu du théorème des accroissements finis,

Mais on a

?' (^) = fx (a?, yu + ^) — fx (^, Vo) ;

80 CHAPITRE Vï

et, par suite, d'après le théorème déjà cité,

ç' (x) = kfl^ (x, y^ + 0,^) (o < e, < 1),

en sorte que

u = hhry^ (x, + e;i, y, + e^A). (â)

Le même raisonnement, en échangeant les rôles des lettres X et y, conduirait à

U =^ kh r.y [X, + Ih, y, + \k) {^l^ J^ ^*^) (3). On a donc, en comparant les relations (2) et (3),

f'yx (a?o + eA, 3/0 + ^^^) = fxy (^0 + ^^. yo + \^)^

et, par suite, à la limite, lorsque h et k tendent vers zéro,

fyx G'^i y) = Hcy (a?, y).

83. Cela posé, revenons aux dérivées partielles des divers ordres d'une fonction ti de plusieurs variables, et considérons d'abord le cas où ces variables ne sont qu'au nombre de deux, X et y.

La dérivée partielle^? quand on prendra successivement

sa dérivée par rapport à j- et sa dérivée par rapport à y, donnera deux dérivées partielles du second ordre que nou s désignerons respectivement par

L'autre dérivée partielle du premier ordre — > quand on

prendra successivement sa dérivée par rapport à y et sa dérivée par rapport à .r, donnera, à son tour, deux dérivées partielles du second ordre, que nous désignerons respecti-

vement par

Mais, d'après le théorème ci-dessus, on a

Il n'y a donc que trois dérivées partielles du second ordre distinctes

^X' ^x^y ^y^x Dy*

Elles ont pour expression générale

2 et 3 étant des entiers positifs ou nuls dont la somme est égale à 2.

L'expression générale des dérivées partielles de Tordre n d*uae fonction w d*un nombre quelconque de variables jT, //, ..., / est

a, P , ô étant des entiers positifs ou nuls ayant pour

somme n. L'exposant, dont la différentielle d'une variable quelconque est affectée, dans le dénominateur de ce symbole, indique le nombre des dérivations relatives à cette variable. Par exemple, la notation

^jc^V^-^

représente le résultat obtenu en prenant deux fois de suite la dérivée par rapport à z, puis une fois la dérivée par rapport à y, enfin deux fois la dérivée par rapport à j".

CALCt'L IXFIXITÉSIMAf.. G

Voici, pour ne rien laisser à désirer sous le rapport de la clarté, le tableau de ces opérations successives, en supposant

On a

Différentielles partielles et différentielles totales des ordres supérieurs des fonctions de plusieurs l'ariables indépendantes.

84. Considérons d'abord une fonction u de deux variables indépendantes j: et y ; chacune des différentielles partielles du premier ordre

r- dx, T- dy

donnera deux différentielles partielles du second ordre quand on la différentiera successivement par rapport à x et à y. Dans ces différentiations les différentielles dx et dij des variables indépendantes, qui, comme on sait, sont arbitraires, seront supposées constantes. D'après cela, en différentiant

Dm , T- dx ox

par rapport à Xy on aura

DÉRIVÉES ET DIFFÉUENTIELLES 83

et, en difTérentiant par rapport à y, on aura

L'autre difTérentielle partielle du premier ordre

donnerait les différentielles partielles du second ordre et, comme

on a finalement les /rois différentielles partielles du second ordre distinctes

Le type général des différentielles partielles d*ordre n d'une fonction ii d'un nombre quelconque de variables indépendantes x, y^ ...., t est

^ ^^ u — rrr dx^dy'^,,.dl^^

n désignant la somme a+ g + .... +6.

80. Enfin il y a lieu aussi de distinguer àf^^'différentielles totales des divers ordres.

u étant une fonction de plusieurs variables indépendantes, la différentiel le totale du définie au n* 72 prend le nom de différentielle totale du pretnier ordre. On nomme différentielle totale du second ordre ^ et on représente par dru la dif-

férentielle totale de </w, c'est-à-dire la somme des différentielles partielles de du. De même, on nomme différentielle totale du troisième ordre et l'on représente par dhi la différentielle totale de dhi ; et ainsi de suite.

Nous allons calculer ces différentielles successives.

Pour avoir la différentielle totale d'une fonction ti de plusieurs variables x^ y^ z^ il faut, d'après la définition même de cette différentielle, prendre les dérivées partielles de cette fonction par rapport à x^ y, z, multiplier respectivement ces dérivées par dx^ dij^ dz, puis ajouter. En appliquant cette règle à la différentielle totale du premier ordre

C?U = r- rffl? 4- ;r- (fy + T- dz (4 i

on a

î) (du) - , D (du) , , 2^ (du) ,„.

or, les variables x^ y, z étant indépendantes, rfx, rfy, dz sont constantes, en sorte qu'on a

d'où, par addition,

On peut écrire symboliquement

d'-u = ( T" ^^-^î + ^ <^y + r" dz\

à condition de remplacer Irni- par ^hc aux numérateurs des divers termes du carré effectué.

En général on peut écrire symboliquement

/Dm , , Dw , , Dm , N" ,o.

d'u={^da>+^dy + ^^dsy (8)

pourvu qu'après avoir développé la n'^™^ puissance on remplace au numérateur de chaque terme Dw'' par D"m.

Pour le prouver, il suffit de montrer que, si la loi est vraie pour d"u, elle subsiste pour d"-^*u.

A cet effet, prenons dans rf"w un terme quelconque

OÙ 7> -h 9 + /• = n. La partie de rf"+*M provenant du terme T sera