Lorsque, dans

les variables x^ y, ;; ne sont plus indépendantes, mais sont elles-mêmes des fonctions d'une ou de plusieurs variables, la fonction ti est dite composée, et nous savons (n° 77) que sa différentielle totale du premier ordre est encore donnée par la formule (4), absolument comme si x, y, z étaient indépendantes.

Ainsi la formule (4) subsiste ; mais il n'en est plus do môme de la formule (7). C'est qu'ici dx^ dy^ dz ne sont plus des constantes, et dans le calcul des quantités

;) {du) ':>{du) 7) {du)

qui figurent dans la formule (5), il faut considérer chaque terme de

, du , i du , , i^H ,

du =1 T" «-^ + T~ « V 4- <~ dz ^x ' t'y ^ ' ^^

comme un produit de deux facteurs qui sont Vim et F autre variables. Ainsi il faudra ajouter respectivement aux seconds membres des relations (6) les quantités

lH^ ^ rf^v - d^z

et, par suile, au second membre de (7), la somme de ces quantités. On aura ainsi

la première partie du second membre est sous forme symbolique.

Le même procédé conduirait aux expressions de rf-^t^, rf'*w, ..., mais les formules qu'on obtient sont peu utiles à cause de leur complication.

Ce qui importe en pratique, c'est le calcul des dérivées partielles des divers ordres

^j.pyyf.,.

de la fonction composée (10) par rapport aux variables indépendantes a, g,..., dont x^ y, z sont des fonctions données. Le problème est ramené de la sorte au cas des fonctions d'une seule variable : en effet on dérivera d'abord p fois de suite Texpression (10) par rapport à a, puis on dérivera le résultat

— ; ç fois de suite par rapport à p, ce qui donnera ? et

ainsi de suite.

ST. Lorsque dans la fonction composée (10) les fonctions composantes x^ y, z sont des fonctions linéaires de la variable ou des variables indépendantes a, ?,..., c'est-à-dire sont de la forme

Aa+B ou Aa + Bp + C, ...,

les différentielles premières rfx, r/y, dz sont des constantes; et, par suite, les différentielles d'ordre supérieur.

d'^Xy cPi/^ d?z^ d^Xy ...,

sont nulles ; par suite d'hi est donnée par la formule (8); en d'autres termes, les différentielles totales de tout ordre de la

fonction composée (10) s'expriment dans ce cas simple comme si X, y, :; étaient des variables indépendantes.

Formule de Leibnitz

88. Il est un autre cas, fort usuel d'ailleurs, oîi la différentielle totale d'ordre n d'une fonction composée est susceptible d'une expression simple. C'est celui où cette fonction est le produit de fonctions w, r, ..., 6-, d une ou plusieurs variables indépendantes.

Considérons d'abord le produit de deux facteurs n et t\ On a successivement

d {uv) = vdu -f- tidv

d} {uv) = d {vdu) -f- 0? {udv)

= vd^u + 2dudv -f- (cPr) u ûP {uv) = d (vd^u) 4- M {dudv) + d {ud^v)

= vd^u + Sdvd^u + 3 dhdu + {dH) u ;

on en conclut, par induction,

rf« {uv) = vd'^u + Cic?rrf''-<M + ... (li)

... + Cîrf*î?rf»-*M*+ ... + {d^'v) w,

formule attribuée à Leibnitz, et dans laquelle C* désigne le nombre des combinaisons de n objets k à A\

89. Pour achever la démonstration de la formule (11), il sufiit de prouver qu'en la supposant vraie pour l'ordre n elle subsiste pour l'ordre n + 1.

A cet effet on dillérenlic la formule (H), ce qui donne

(;"+* (wr) = t?a^'»+*w + ... + (CJ-* +Ci)d*rrf«+»-^ -f ... + (d«+<t?) u\ et, comme on a évidemment

CAr — 1 I f^k r>k n -f- v-n — ^n+ 1>

■îT

DÉRIVÉES ET DIFFÉRET^TIELLES 89

il vient,

<f« +< {uv) = rû?«H u + ,.. -}- C^^^^d^'vd^+^'^u + ... + {d^+*v)u,

expression qui n'est autre que (H), dans laquelle on a changé n en n + 1.

On donne souvent à la formule (H) la forme symbolique

d''{uv) = {du +dv)^. (12)

Voici comment il faut Tentendre : après avoir développé le second membre d'après la règle du binôme de Newton, on mettra en facteur dans le premier terme {dvy et dans le dernier {dtiy ; puis on remplacera les puissances {du)^ et {dv)

respectivement parles différentielles rf*w, cPi', lorsque k n*est pas nul, et par u et r, si k est nul. Il est clair qu'on tombera ainsi sur la formule (H).

Considérons maintenant un produit

0) =2 uv,., lO.S

d'un nombre quelconque de facteurs ; on aura encore sym-boliquement

rf«<D = [du -{- dv -\- .„ -\- dw + dsY ; (13)

en d'autres termes, pour obtenir rf^w, on devra : V développer le second membre comme une puissance ; 2** introduire ensuite en facteur dans chaque terme la puissance zéro de celles des différentielles rft/, dt\ ..., ds qui ne figurent pas dans ce terme; 3" remplacer les puissances

par les différentielles

si k diffère de zéro, et par si A: est nul.

v 90 CHAPITRE VI

Pour démontrer la formule (13), il suffit maintenant de faire voir que, î^i cette formule est vraie dans le cas de m — 1 facteurs, elle subsiste lorsque ces facteurs sont au nombre de in, A cet effet, désignons par y le produit des m — 1 facteurs u, r, ..., îr; on aura symboliquement par hypothèse •

rf^w =r rf« {y. s) z= [dy + ^*)''-

Or à un terme quelconque kkdy^ds''-^ du développement de ce binôme correspond dans rf'^w le terme ki:d^yd'^'~^s^ c'est-à-dire d'une façon symbolique

Ait(û^w + do + ... + dwfds"-^.

En raisonnant de même sur les autres termes et ajoutant, on tombe sur la relation symbolique (13).

Dérivées successives d'une fonction de fonction

90. Nous terminerons ce chapitre par la recherche de T-^» y étant une fonction de fonction de x définie par les

équations

Des relations (1) on déduit par différentiations successives :

+ /'HV'(«)-

On voit par là que -r^ est de la forme

(.'.tJL

les coefficients Aj, A.j, ..., A., dépendent de f{x) et de ses dérivées, mais restent les mômes, quelle que soit la fonction f{ii)»

On déterminera donc ces coefficients en faisant sur cette fonction <^{u) des hypothèses particulières. En appliquant successivement la relation (2) aux cas où les valeurs attribuées à ç(î/) sont les puissances, n, i/-, ..., «"*, on obtient, pour déterminer Aj, A^>, ..., A», les équations linéaires ;

Nous laissons au lecteur le soin d'achever ce calcul qui n'affre ni intérêt, ni difficulté.

Définition des fonctions implicites

91. Lorsque ??? + n variables x^,.,x^^ ?/,...w", sont liées par // équations

non résolues par rapport à w^,- ... i/„, on dit que Wj, ..., ti^ sont des fonctions iniplicites de a:^, ..., ir,„.

Mais sous quelles conditions ces fonctions W|, .... w« sonlelles bien définies et ont-elles des dérivées déterminées? La réponse à cette question exige quelques explications.

On dit que plusieurs variables indépendantes ar, y, z restent situées dans un champ (C) déterminé par les intervalles (a, a), (g, p'), (y, y'), lorsque les valeurs que peuvent prendre ces variables sont tous les systèmes de valeurs telles qu'on ait

Cela posé, considérons les fonctions /j, ..., /„, qui constituent les premiers membres des équations (1); soit (C) uh champ dans lequel ces fonctions soient bien définies et con-

tinues, ainsi que leurs dérivées partielles, par rapport à

u^l , ..., ^mj *'lï •••1 ^'n*

Si x^= a^y ..., j»^ =r âr^„, M^ = ij, ..., u,^ = i„ est un .v/y.s- /è?}iP de valeurs comprises dans le champ (C) et propre à vérifier les équations (1) sans annuler le détei^minant

il existe un système unique de n fonctions ^

satisfaisant aux conditions suivantes :

V Elles prennent respectivement les valeurs i^, ..., i„ quand on attribue à x^, ..., x^, les valeurs a,, ..,, «„, ;

2** Elles sont bien définies, continues et possèdent des dérivées déterminées dans un certain champ (C) comprenant «|7 ...» (^m-i ^f dans lequel K ?*este différent de zéro ;

3* Pour tout système de valeurs de x^, ,.., x„^ renfermées dans le champ (C), les fonctions /j, ..., A deviennent identiquement nulles, lorsqu'on y remplace ?/,, ..., u^ respectivement par 9,, ..., 9rt.

Ce sont les fonctions Ç|, ..., ç,» définies de la sorte, qui constituent \q^ fonctions implicites i/,, ..., ?/,..

11 était indispensable, pour préciser la définition dos fonctions implicites, d*énoncer le théorème qui précède. Quant à sa démonstration, elle n'offrirait aucune utilité à nos lecteurs, et, comme elle est assez délicate, nous renverrons les personnes désireuses de la connaître au Cours ff Analyse de M. Jordan. Ces considérations purement théoriques nous éloigneraient de notre but qui est surtout d'apprendre à calculer les différentielles et les dérivées des fonctions implicites.

On pourrait aborder de suite le cas général, mais il nous paraît préférable de commencer par les cas simples qui sont les plus usuels.

Différeniiaiion des fonctions implicites d'une variable indépendante

\. Soit u= 9(x) la fonction implicite définie, sous les conditions indiquées ci-dessus, par une équation

Ici le déterminant K se réduit à ^ et, par suite, cette der-

nière quantité est supposée différente de zéro dans un certain champ.

Cela posé, dans/(.r, w) on suppose // remplacé parç(j:), f{Xj u) sera une fonction composée ; et, comme cette fonction composée est égale à zéro, c'est-à-dire conserve une valeur constante dans le champ considéré, ses dérivées successives devront rester nulles dans le même champ. On a donc, en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :

\ox* ' oxcu ' Dw^ J ^ Ou

Puisque ^ n'est pas nul, la première de ces équations

donnera pour la dérivée première// une valeur déterminée; on portera cette valeur de ii dans la seconde équation qui, pour la même raison, donnera une valeur déterminée pour u\ et ainsi de suite.

LES FONCTIOiNS IMPLICITES 95

Oî3. Considérons, en second lieu, le cas où Ton donne /#. équations entre w + 1 variables, dont une seule reste dès lors indépendante; et, pour fixer les idées sans nuire à la généralité de la méthode, prenons le système

f^ (a?, w,, Wj) = o, /i {co, w^, Wa) = o, (2)

en vertu duquel Wj et i/o sont des fonctions implicites de la variable x. On suppose d'ailleurs le déterminant J différent de zéro dans un certain champ.

Puisque Mj et ^2 sont des fonctions de x, les expressions /j {x^ Mj, «.>), f<i (^, Wi, w-2) s^^** ^^s fonctions composées de cette variable, et, comme ces fonctions composées sont nulles, c'est-à-dire conservent une valeur constante dans le champ considéré, leurs dérivées par rapport à x devront rester nulles dans ce champ. On à donc, en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées

K n'étant pas nul, le système linéaire (3) donnera pour les inconnues w'^ et w'odes valeurs déterminées ; en portant ces valeurs dans (4), on aura un système linéaire par rapport à II" X et ii\ et qui, ayant pour déterminant K, déterminera ces inconnues ; et ainsi de suite.

Diiférenlialion des fonctions implicites de plusieurs variables indépendantes

94. Considérons maintenant le cas général, c'est-à-dire le cas relatif aux équations (1); et, pour fixer les idées, supposons 7)1 = 3 et n = 2. Les équations données sont alors :

Elles définissent un système de fonctions implicites t/, et ;/o, le déttirminant

étant supposé différent de zéro.

Les fonctions f^ et f^ sont des fonctions composées des variables indépendantes j"j, »/'o, Xg. Ces fonctions composées ayant une valeur constante (qui est ici zéro), leurs différentielles totales des divers ordres sont aussi nulles. On aura donc les relations

rf/2 = 0

Développons ces équations et, pour abréger récriture, désignons par /Tune quelconque des expressions /j et f.y ; Téquation c/f = o développée est

/«.+lf/«» + (^^-.-^.^'^» + l;^3) = o; (8)

et, pour avoir le système (6) développé, il suffira d'affecter successivement dans (8) la lettre f des indices 1 et 2. On

obtient ainsi un système de deux équations linéaires par rapport aux inconnues du^, du^, et qui détermineront ces différentielles totales, puisque le déterminant de ces équations est précisément le déterminant J qui, par hypothèse, est différent de zéro. Ces valeurs seront de la forme

du^ = A^dx^ + A.^dx^ + Agdjîj, | .^.

du^ = B^dx^ -}- B2dx^-{-B^dx^, \ ^ '

ce qui donnera pour les dérivées partielles du premier ordre de w, et de w, les expressions

^œ,^^'' cV,-*^^' c^a;3-"^3-

Passons maintenant au second ordre.

En dififérentiant la relation (8) et n'ouhliant pas que rfjC|, dx.^^ dx^soxd constants, on a Téquation:

+( -r^ dœ^-^-^ — f— c^Wj +^^^ — r— diu + r — r— dœ. + ;; — T~dx^ ]dx^

dans laquelle, pour plus de clarté, nous avons placé sur une même horizontale tous les termes fournis par la diflTérentiation d'un môme terme de (8), sans opérer aucune réduction. On déduira de là le système (7) développé, on affectant successivement la lettre f des indices 1 et 2 et remplaçant rfWi et du^ par leurs valeurs (9). On obtiendra de cette façon un système de deux équations linéaires par rap-

CALCUL i:Tyi9ITÉSIMAL. 7

■* ■* - rf J * *

port aux deux inconnues dht^, cPu.j,, et qui, puisque K est différent de zéro, déterminera ces deux différentielles totales du second ordre. Les valeurs tirées de ces deux équations seront de la forme

d^u^ = C^rf^î + C^dxl + C^d^l

+ ^C^dœ^rfx^ + 2C^dx^dx^ + ^C^dx^dx^

d^u^ = iy^dx\ + D^dx\ + Djrfxl

+ Vùj^dx^dx^ 4- ^ly^dx^dx^ -f ^Xy^dx^dx^y

et Ton aura enfin, pour les dérivées partielles du second ordre,

c>a?î ""^*' cV» ""^2' ^xl '^ ^'^x,l>x^'~^''^x,^x^-^ ^'^x,,^x^ ""

On continuerait de mt^nie pour les ordres suivants.