Exemple. — Que devient Téquation

{i-x^)y'^ay+n^y = o, (4)

quand on substitue à la variable indépendantes la variable / liée à a: par la relation

X =z cos c. (5)

Les formules (1) et (2) permettent de mettre (4) sous la forme

,. 3^ dxd^y — di/d^x dy . ,

où la variable indépendante n*est pas désignée.

D'autre pari, la formule de transformation (5) donne

<fa? = — sin t (il, d-x = — cos t di^ ; (7)

en portant les valeurs (5) et (7) dans (6), on obtient, réductions faites,

pour la transformée demandée.

Deuxième problème : cliancjement de la rariable indépendante et de la fonction

JO.i* Soit V une expression contenant une variable indépendante x^ une fonction y de cette variable et ses dérivées successives y\ y\ y"\ ... Que devient l'expression V quand on substitue à x et à y deux nouvelles variables u et te liées aux premières par deux relations

oii u désigne la nouvelle variable indépendante^ et te la nouvelle fonction.

On commencera par Iransformer, à Taide des formules (1 ), (2), (3), . . . , lexpression V en une autre V, où la variable indépendante n'est pas désignée. Cette. expression V, contiendra

57, y, dx, dy, d^x, d'^y, rf'a?, rf^y, ...

et il restera à calculer ces quantités à l'aide des relations (9) et des équations que Ton en déduit par différentiations successives, en ayant soin de considérer dans ces différentiations u comme la variable indépendante, c'est-à-dire de supposer du constant.

iiO CHAPITRE VIII

lOi. Exemple. — Quelle est la transformée de l'expression :

lorsqu'à la variable indépendante j: et à la fonction // on substitue les variables p et 0 liées à r et y par les relations

a;=:pcosO, y=:psinô, (11)

où 0 désigne la nouvelle variable indépendante.

Les formules (1) et (2) permettent de mettre l'expression (10) sous la forme

Or la première différentiation des relations (12) donne

dx = c/p ces 0 — p sin Oc?ô / .^

dy = rfp sin 0 + p ces Orfô : ( ^ ^

puis on a par une seconde différentiation (où rfO est constant)

d^x == rf'^p cos 0 — 2dp sinOrfà — p cos bdb^ ( , , l^y = û?2p sinO + 2(/p cos 0^6 — psinOc^O^ ) '

La substitution des valeurs (13) et (li) dans (12) donne pour la transformée cherchée

" ['■+Câ)T

Nous verrons plus tard que l'expression (10) est celle du rayon de courbure d'une courbe plane en coordonnées rcctilignes rectangulaires. On sait, d'ai Heurs, que les formules ( 1 1 j

CHANGEMENT DE VARIABLES ili

sont celles qui lient les coordonnées rectangulaires œ et y aux coordonnées polaires p et 0; Texprcssion (15) est donc celle du rayon de courbure en coordonnées polaires.

Il y a souvent avantage à introduire, dans les formules

{ relatives aux coordonnées polaires, rinverser= -du rayon

P vecteur au lieu du rayon vecteur lui-môme.

Pour avoir la transformée de la formule (15) dans cette

hypothèse, il suffit de substituer dans cette formule les

valeurs

1 Ç[e____lç?r d'^p __ 1 d^>* 2 /dry ^ "" r' rf9 "" y^ dh' dV^ "" "~ r^ rfô^ "^ H \d^) '

ce qui donne

lOo. 11 arrive parfois que les relations de transformation contiennent des différentielles. Voici un exemple de ce cas.

Considérons la formule (10) ou plutôt la transformée (12; dans laquelle la variable indépendante n'est pas spécifiée, et supposons qu'on choisisse celte variable indépendante .v telle que l'on ait :

dx^ + dt/'*' = d^K (H)

La différentiation de cette relation donne (en observant que, .V étant la variable indépendante, on a dr.s = o)

dxd^x -\- dyd^y = o.

On a d'après cela

{dxd^y — dyd^x ' ~ idxd^y — dyd'^x)^ + [dxd^x-^- dyd^yy

= [dx^ + dy ) [[d^x)-^ -f [d'^yY] = ds'^ [{d'^xY' + {d'^y)^l

™JC

et, par suite, en vertu de (12),

formule élégante et souvent utile.

106. Nous terminerons ce qui est relatif au second problème par la question suivante qui en est un cas particulier important :

Les deux variables x et y étant des fonctions bien déterminées ru ne de l'autre, exprimer les dérivées de y par rapport à X en fonction des dérivées de x par rapport à y.

Les formules (t), (2), (3),..., résolvent la question ; il suffit d'y faire dy constant, c'est-à-dire d-y = o, d^y = o, ... ; on obtient ainsi

\dyl \dy) \dy)

Troisième problème : changement des variables

indépendantes