Soit

\=r{co, y, z, j-, ^. ~. ^^, ^, .. j (âO)

une expression contenant deux variables indépendantes x et y, une fonction z de ces variables et les dérivées partielles des divers ordres de cette fonction. On demande ce que devient l'expression V lorsqu", aux variables indépendantes X et y^ on en substitue deux autres u et v liées aux premif^res par deux relations données

CHANGEMENT DE VARIABLES ii3

Ces deux formules de transformation donnant a: et y en fonction de u et de v^ il ne s'agit en somme que d'exprimer les dérivées partielles de z par rapport à x et à y en fonction des dérivées partielles de z par rapport à ^/ et à v.

Cherchons d'abord les dérivées du premier ordre

Considérons à cet effet les égalités

dz ^=i r- dx -\- :r' dxi \

dz -=. ^- du A- T" dv I '

et les relations

^^dx^ +^rfi, = o

ex ' t)l? j

que Ton obtient en différentiant totalement les formules de transformation (21). En éliminant dz^ du et rft' entre les quatre relations (22) et (23), on tombera sur une égalité

Kdx + Brfy = o, (24)

dont le premier membre est linéaire et homogène par rapport à dx ^idy et qui devra être une identité, puisque les variables x ^iy sont indépendantes. Cette identité équivaut donc aux deux équations A = o, B = o, qui, étant linéaires

par rapport à-^* ^» donneront sans difficulté les expressions

de ces dérivées en fonction de r* et 7^-

Pour trouver les dérivées du second ordre

ilemcnt chacune des rela(ions(23)en cone opéralion dx et dij comme constants, tions ainsi obtenues

dxctu + ■i i^-r^ d<cdo -f- 2 ~t- dydu -^' dude 4- ^ d»M + ^ rf*o = o

'«, r/'r,etron remplacera en oulre(/«et»/t' récs des équations ('^3)- On tombera de la

*' + 'iSdxdy + Qf^y* = o

tcond degré par rapport à dx et à dy, et antique, équivaudra aux trois équations o; ces équations sont d'ailleurs linéaires

c sansdifficulté les expressions de ces dérifoncLion des dérivées partielles de = par

le mime pour les dérivées du troisième