Nous avons supposé qu'il n'y avait que deux variables
indépendantes; niais le procédé s'applique évidemment au cas
oii le nombre ?i des variables indépendantes est quelconque ;
les formules de transformation doivent alors être au nombre
de n.
1 09. Remarquons encore que la méthode resterait la même si la fonction js figurait dans les formules de transformation qui seraient de la forme
il faudrait alors ajouter respectivement dans les relations (23) les termes
et dans les relations (24) les termes qui proviennent de la diflférentiation de ceux-là.
1 1 0. Exemple. — On demandeceque deviennent les expressions
lorsqu'au lieu de x etyon prend pour variables indépendantes les quantités p et 0 liées aux premières par les formules
0? = ^ cos 0, y = p sin 9. (29)
La dififérentiation de ces deux relations donne
dœ = c/p. cosô — p sin 0^6 ) ,^^v
dy = dp. sin 0 + p cosôc/O (
que Ton peut écrire, en résolvant par rapport à dp et rfO,
dp = ces bdx -}- sin Orfy
iiO = — - sin b dx 4- ' cos ôrfy.
En substituant ces valeurs dans l'égalité
T- Cte + r- du = T- dû + :rra),
on obtient Tidentité
r^.eos0^+-^sin6^>^ + r^--sia6^^-~^-cose^^^
d'où Ton tire, en annulant les coefficients de dx et de rfy,
r- = cos 6 T sin ô ^T-
^ = sm0-+-cos6-)
On déduit de là immédiatement, pour la transformée de l'expression V,
Pour transformer l'expression Vj il faut calculer les dérivées du second ordre 7^,' ^, •
A cet effet on différentiera les relations (30) ou (ce qui est équivalent et plus simple) les relations (31) en laissant, bien entendu, dx et df/ constants. On trouve ainsi immédiatement les valeurs
qui portées, en même temps que les valeurs (31), dans l'égalité
donnent Tidentité
L^a?» ;)p^ ^ p V^pc^o p c)e / Vp^ ^ô^ ^ p ^p/
L^y '^p p \^9^^ p*^v vp^Do^ ' p ^p/
-f* dx dy I I = 0.
En égalant à zéro séparément les coefficients de dx-, dy^ et de dxdy^ on a trois équations qui donnent respectivement
■\9^ -xO^ ■\2^
les valeurs des trois dérivées partielles --4,» r-^» rr"'
Les deux premières nous importent seules puisque
^Xi^y
ne figure pas dans Texpression V, ; c'est pourquoi nous n'avons pas calcule le coefficient de dxdy dans l'identité cidessus. Pour avoir V,, il suffit d'ajouter les deux relations que l'on obtient en égalant à zéro les coefficients de dx'^ et de dy-, ce qui donne finalement
* ""^pa "^pa De2 "^p ?p'
111. Par un calcul semblable, mais un peu plus long, on trouverait que les expressions
ef)'+(^)'+G-^r-
deviennent respectivement
et
y + p» D^,» + p» 8in»i|/ 1)0* "f" p 3p "'" p* ^'
lorsqu'on pose
30 = f sin<{( cos6, ^ = p sin if* sin6, ^ = p cos-f,
•i>^JIi.Wr-,;K
c'est-à-dire lorsqu'aux variables indépendantes x, y, z (coordonnées rectangulaires d'un point de Tespace) on substitue les variables p, w, 6 (coordonnées polaires du même point).
Les expressions (33) et (34) jouent un rôle important en analyse : on leur donne, d'après Lamé, les noms de paramètres différentiels du premier et du second ordre de la fonction H.
Ces paramètres jouissent de cette propriété remarquable que leur forme n'est pas altérée par une substitution orthogonale; en d'autres termes, les expressions (33) et (34) deviennent respectivement
lorsqu'au lieu de x, y, ;5 on prend pour variables indépendantes trois autres variables w, r, w liées aux premières par les formules
00 = ail -\- bv '\- cic \
y = du -\- b'v -\- c'vo \ (39)
dans lesquelles a, é, c, a', b\ c\ a\ b\ c" désignent des constantes choisies de telle sorte que Ton ait identiquement
condition qui entraîne évidemment les relations
a^j^d^ + d'^=:i, h^-\-b'^ + b"^ = i, c^+c^ + c'^ = i , ^ ûô-j-a'6'+a"6^ = o, 6c+yc'+^»V=o, ca+c'd'\-c"a"=o^ ^
Pour démontrer cette propriété des paramètres différentiels, il suffit d'appliquer la théorie du changement des variables indépendantes (n** 124).
A cet effet, mettez d'abord les formules de transforma-
ti = ax -\- a'y + a" s 1
K = bx-\- b'y + h"z \ (42)
w = C^ + cV + c"a; )
il suffit pour cela d'ajouler les équations {39) multipliées respectivement d'abord par «, ô, c, puis par «', i', c', enfin par a°, è', c", et détenir compte des conditions (41).
Cela fait, différentions une première fois les relations (i2), ce qui donne pour o'», (h\ dw les valeurs
du = adx -f- ddy -f- a'dz l
c/o ;= irf<r + b'dy + 6''rfa (43)
dw =. cdx + cV/y -|- c"dî, )
qui, portées dans
?H . , rfll ^ , MI . ^H . , ;^H , , 3H .
donnent l'identité
JH . Ml Ml]
, . rSH . Ml ,. Ml . Ml
+ •''[57-'' ta-' mt-" s;
et, par suite,
