On demande ce que dexnent V expression
V = r[^. y. z, ^, ^, -.,,) (scy)
lorsque^ aux variables indépendantes x et y et à la fonction 2, on substitue deux nouvelles variables indépendantes u et V et une nouvelle fonction t/', étant données trois relations
?i (^1 y» ^, w, V, lo) = o, {p2 (^» y» ^î "» ^^ ^^) = o, ^2in
?3 (^' y» ^» "^ ^1 îc) = o
entre les trois nouvelles variables ?/, r, w, et les variables primitives x, y, s.
La marche à suivre est analogue à celle du cas précédent.
Pour que le lecteur saisisse mieux la ressemblance et la différence, nous conserverons autant que possible la rédaction du n* 107, en n'y introduisant que les modifications nécessaires et donnant aux équations correspondantes les mêmes numéros accentués.
Les formules de transformations (21') donnant x, y, z, en
fonction de w, r, ic, il ne s'agit, en somme, que d'exprimer les dérivées partielles de z par rapport à x et y en fonction des dérivées partielles de ic par rapport à ?/ et à r.
Cherchons d'abord les dérivées du premier ordre
Considérons, à cet effet, les égalités
dz dw
c- dx -A- r- dy
T— au + -r- dv ou ov
et les relations
^^dœ -[.^^y +^ dz + ^^-1 dii +^ rf, + ^ dw Tix ^y ^2 ^u ' i)v ' ^tc
hi ,/.. —
que Ton obtient en différentiant totalement les formules de transformation (21'). En éliminant dz^ diL\ du^ dv entre les cinq relations (22'), (22") et (23'), on tombera sur une égalité
Adx -\- Bdy
dont le premier membre est linéaire et homogène par rapport à dx et dt/ et qui devra ôtre une identité puisque les variables x et y sont indépendantes. Cette identité équivaut donc aux deux équations A -- o, B =o, qui, étant linéaires
par rapport à -^^ -^> donneront sans difficulté les expressions de ces dérivées en fonction de — - et de 7-*
Pour trouver les dérivées du second ordre 7—,» c~r~' r^' on différentiera totalement chacune des relations (23') en
considérant dans cotte opéi'ation dx et rfy comme constants. Entre les trois relations ainsi obtenues
+ B- ""■ +^ Sj "^^ + » ^ """^ + * Si <*"'"
Xi- J.. J„ I et tI J,,J.„ d ^^ a L ^..^.. I CI
f ovoïc ^ ^z ou ov ' ow
hi
et les égalités
d^w = ^ rfM« + 2 f^ rfM cfr + Vt ^^^ (26')
on élîmiûera rf-2, o^'w, dh\ d-w, et Ton remplacera, en outre, dw^ dît, dv, dz par leurs valeurs tirées des équations (22") et (23'). On tombera de la sorte sur une égalité
homogène et du second degré par rapport à rfj^ et à dy et qui, devant être une identité, équivaudra aux trois équations
Ces équations sont d'ailleurs linéaires par rapport à
elles donneront donc sans difficulté les expressions de ces dérivées partielles en fonction des dérivées partielles de ir par rapport à w et à v.
On continuerait de même pour les dérivées d'ordre supérieur au second.
