Exemple. — Que devient l'expression

a^ \^ + 2ab^ + b^ \4^ (47

lorsqu'aux variables indépendantes x et // et à la fonction z on substitue les variables indépendantes u et v et lafonctionir définies par les relations

u = ax, V = by^ w z=z ax '\- by -\- cz^ (48)

a, é, c étant des constantes données?

On a

du =: adx, dv = bdy^

dio = adx + bdy -}- cdz = f <? + c ^- ) fl^o? -[- (ô + c ^Vy, et, par suite, la relation

diO =r ^r— du -[- :r- dv OH 00

devient

(^ + ^ S) "^^^ + (* + "' iv) "^^ = ^ S ^^ "^ * S ^^ '

cette équation se décompose dans les deux suivantes

a + Cr-=rtr— » b 4- C r- = ô r— (50)

ox OU oy ov

Différentions totalement la première, il viendra

,^z ,ho

c d— = a «r— > ox ou

c'est-à-dire

équation qui se décompose dans les deux suivantes

On trouverait de même en partant de la seconde équation (50)

On a donc pour la transformée de l'expression (47)

Autre méthode

114. La solution que nous venons de donner, pour les questions relatives aux changements de variables, est fondée sur la considération des différentielles totales. C'est en général la meilleure marche à suivre. 11 est cependant avantageux parfois d'employer un autre procédé fondé sur la considération des dérivées partielles et qui, vu l'importance pratique des problèmes en question, ne doit pas être passée sous silence. Nous allons expliquer brièvement cette autre méthode en nous bornant au cas général où l'on change a la fois les variables indépendantes et la fonction ; nous conserverons d'ailleurs les notations du n° 112.

:;, étant une fonction de j? et de y qui dépendent ellesmêmes de u et de r, est une fonction composée de ces nouvelles variables ; on a donc, d'après la règle de dérivation

des fonctions composées,

tj£ t^^ <)jr ?|£ i^ ^ ^ '

On en déduit ensuite, en différentiant successivement par rapport à ?/ et à v et observant que ^ et ~ dépendent de j: et de y qui sont à leur tour des fonctions de u et de r,

^^z ^^z t>j; t)j; t)^^ /^a' ^i/ , ^.r ^v\ , ^^z Dy c^y

eu cv' t'y t't?- ;

Les équations (A) et (B) sont linéaires par rapport aux inconnues

iV :>z ^2^ ^«c y^z

^r c'^y' iV-*' D.iOy J>y*'

elles donneront ces quantités lorsqu'on y aura remplacé

^^Iv

par leurs valeurs en fonction de

^ÎC ^iO ^'10 ^^W ^^ÎO

valeurs que Ton tire des équations obtenues en diflférentiant successivement par rapport à i^ et à v les équations de transformation ril), et allant jusqu'aux dérivées du second ordre inclusivement, c'est-à-dire jusqu'aux dérivées de même ordre que les dérivées les plus hautes qui figurent dans l'expression (20').

Appliquons cette méthode à l'exempl-e du n** 113.

Les formules de transformation sont ici

elles donnent, par différentiation,

Ou

^U C \ou J

ox> c\ov 1

cVj 1 ^Ho ^u^ c t)w^'

En portant ces valeurs dans (A) et (B), on obtient immédiatement les valeurs

^ ___ rt^ ^/? ^^z ah ^ho ^^ b^ ^hc

d'où résulte, pour la transformée de l'expression (47), la valeur déjà trouvée au numéro précédent.

D'ailleurs, en résolvant (55) et (56) par rapport à dx et rfy, on a

ce qui donne

Dp r/ — s^ ^q ^p rt — s^ 'bq rt — s^

OU, en vertu de (57),

2>»tC7 t

€>p^ rt — «•'

Ipl^q rt — s^

on en déduit

^p^ Bgr3 \^pbq) rt — t^

et enfin.

^^tO ^tg B*t<? ^*M> D^IO /D*tO\^

CAI-CCI- niFINITÉSIMAL. ^

' - . vvrjpçi"*^^''

Définitions

1 1 6. On donne le nom de série à toute suite illimitée de quantités se succédant suivant une loi déterminée, mais d'ailleurs quelconque.

Une série

est dite convergente lorsque la somme

de ses n premiers termes tend vers une limite déterminée, et par conséquent finie , à mesure que le nombre n croît indéfiniment. Cette limite S est dite \a somme de la série^ et l'expression S — S„, que Ton désigne habituellement par R„, reçoit le nom de reste.

On appelle série divergente toute série qui n'est pas convergente.

1 1 7, Comme premier exemple de série, nous citerons la progression géométrique

. a, aqy aq^^ ..., aq'\ ... (1)

Elle est convergente lorsque la raison q est, en valeur

absolue, inférieure à Tunité ; car la formule connue

montre que, dans cette hypothèse. S» a pour limite

puisque y** tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment.

Dans tout autre cas, la progression est une série divergente. En eflet, si q est, en valeur absolue, supérieur à 1, la formule (2) montre que S„ croît indéfiniment avec w. Il en est de même pour y = + 1, car tous les termes de la série sont alors égaux à a, et Ton a S„ = an. Enfin pour ç ^= — 1 la série devient

Cf., — a, fl, — a, ...,

et S„, étant égal à zéro ou à a suivant que n est pair ou impair, n'a pas de limite déterminée; il y a donc encore divergence.