Comme second exemple, nous considérerons la série
à laquelle on donne le nom de série harmonique.
En groupant les termes, à partir du troisième, de la manière suivante :
on voit que chaque groupe a une valeur plus grande que -y
Donc, quand n croît indéfiniment, S„, renfermant la quan-
tité - autant de fois qu'on veut, finit par surpasser toute limite ; la série harmonique est donc divergente.
119. Pour quxuif* série soit convergente, il faut que le terme général Un tende vers zéro lorsque n croît indéfiniment.
En effet, S étant la somme d'une série convergente, S„ et Sn + i ont Tune et l'autre pour limite S, et par suite leur différence, c'est-à-dire ?/„, a pour limite zéro.
Mais la condition n^est pas suffisante^ témoin la série
harmonique (2) qui est divergente (n** 118), bien que son
terme général - tende vers zéro quand n croît indéfiniment.
Caractère général de convergence
120. Pour qu^une série soit convergente^ il faut et il suffit que, pour toute valeur entière et positive de jo, la différence S„4.p — S„ tende vers zéro quand n croît indéfiniment.
1° La condition est nécessaire; car, si S désigne la somme d'une série convergente, S„etS„4.pOnt Tune et l'autre pour limite S lorsque n croît indéfiniment, et par suite leur différence a pour limite zéro ;
2" La condition est suffisante.
En effet, par hypothèse, à tout nombre s positif et aussi petit qu'on veut répond un nombre entier et positif v tel que l'on ait, pour toutes les valeurs entières positives de /),
I ^f + p — Si, I <C 6, ou
cela revient à dire qu'on a
pour toutes les valeurs de n supérieures à r.
^WT'^
Cela posé, attribuons successivement à s des valeurs s^, £j, £3, ..., indéfiniment décroissantes, et soient i\, t'o, 1^3, ..., les valeurs correspondantes de r.
Désignons en outre par Ait la plus grande des quantités
et par B^ la plus petite des quantités
On aura, d'après (4), pour toutes les valeurs de n supérieures à la foû àt'i, «2, ..., V/tj
Aa < S„ < B;t,
et pour démontrer que S„ a pour n infini, une limite déterminée, il suffit de montrer que, lorsque A* croît indéfiniment, Ajt et Bit tendent vers une même limi.le.
Or, lorsque k augmente, A;^ ne décroit pas et reste supérieur à Bj, tandis que B^. ne croît pas et reste supérieur à Aj ; Ajt et Bit ont donc chacun une limite déterminée, et ces deux limites sont égales, puisqu'on a
Bj, — A* < (S.^ + sjt) — (S.^ — t^) < 2eA, et que sj^ tend vers zéro lorsque k augmente indéfiniment.
121. L'importance de ce théorème, au point de vue théorique, ne doit pas faire illusion sur sa portée pratique; s'il intervient utilement dans la démonstration de certaines propositions, il est d'un emploi peu commode pour reconnaître la convergence ou la divergence d'une série donnée. Pour atteindre ce dernier but, le procédé le plus fécond consiste, sans contredit, dans la comparaison de la série proposée avec des séries dont on connaît la convergence ou la divergence. De cette comparaison résultent diverses règles dont nous nous bornerons à indiquer les plus usuelles ; d'ailleurs, jus-
qu'au n° 136, il ne sera question que des séries dont tous les termes sont positifs.
Premières notions sur les séries dont tous les ternies sont positifs
1 ^2. Pour démontrer qu'une série à termes positifs est convergente, il suffit de prouver que la somme S„ des n premiers termes reste, à partir d'une certaine valeur de n, inférieure à un nombre fixe. Car S,i, croissant avec n et restant moindre qu'un nombre fixe, a une limite déterminée.
123. 11 résulte de là qu'?/ri^ série U à termes positifs est convergente si ses termes sont moindres respectivement que ceux d'une autre série U' à termes positifs et convergente. En effet, la somme S» des n premiers termes de la série U est alors moindre que la somme S„' des n premiers termes de la série U', et, par suite, moindre que la somme S de cette dernière série.
De môme, une série U à termes positifs est divergente^ si ces termes sont respectivement plus grands que ceux d'une autre série U' à termes positifs et divergents, car S„, croît indéfiniment avec n, puisqu'elle reste supérieure à S^', qui, par hypothèse, croît au-delà de toute limite.
Voici quelques applications de ces principes.
1 24. La série
OÙ a désigne un nombre positif quelconque, est convergente si a est plus grand que 1, et divergente si a est égal ou inférieur à 1.
En effet :
Soit d'abord a > 1 , et posons
la série proposée deviendra
mais on a évidemment
JL i
t*3<^-4i<4ni' i i ,
les termes de la série (6) sont donc respectivement moindres que ceux d'une progression dont la raison
est inférieure à 1, puisque, a étant > 1, 2»~* est plus grand que l'unité. Il y a donc convergence (n^ 123).
Dans le cas où a = 1, la série (5) n'est autre que la série harmonique dont on a démontré la divergence aun° 118.
Soit enfin a < 1 ; on a alors
par suite, les termes de la série (5) étant supérieurs aux termes correspondants de la série harmonique, il y a encore divergence (n° 123).
