La série
21og2' 31og3' 4 1og4' "" TTÎ^' *" ^^^
est divergente.
En effet, si Ton pose
* "~ 2 log2
"2~"31og3"'"4Iog4'
""^"Sloga"^ •••■'" 8 legs'
"4 =5t:ts+- +
9 1og9^- ^16 1ogl6 '
la série proposée deviendra
u^, Wj, w„ Mj, ...; (8)
mais on a évidemment
2log2'
^2 il
4log4 ""^ 2 2log2' ^ 4 1 1 ,
"^ ^ 81og8-^3*21og2 ' ^ 8 1 1
161ogl6 -^ 4 2 1og2 '
Les termes de la série (8) sont donc respectivement plus grands que ceux de la série harmonique multipliés par le
facteur ^-j — - ; il y a donc divergence (n*' 123).
1226. Une série à termes positif s est divergente si juin tend, poiirn = 00, vers une limite X plus grande que zéro. En effet, q désignant un nombre fixe pris à volonté entre 0 et a, on
a ura,àpartird'un certain rang, w2/„>ç^, d'où w„>^;iestennes de la série seront donc plus grands que ceux de la série harmonique multipliés par le facteur-; il y a donc divergence (n*» 123).
Règles de d'AIembert et de Cauchy
12T. Une série à termes positifs Wj, ii:^, .,., ?/„, ..., est coîivergente si le rapport
^n + 4 Un
cTun terme au précédent tend^ lorsque n croit indéfînitnent^ vers une limite a inférieure à r uni té; elle est divergente, si le rapport (9) a une limite a plus grande que Cunité.
En effet, désignons par q un nombre fixe pris à volonté entre 1 et X.
Si X est plus petit que 1 , le rapport (9) sera, à partir d'un certain rang n, aussi voisin de X qu'on voudra et par suite inférieur à ç'. On aura donc
»^« + 3 < q . Wn + 2 < q^ ' ^«»
Par suite, à partir 4 un certain rang, les termes de la série considérée seront inférieurs aux termes corres-
138 CHAPITRE rX
pondants A^ la progression géométrique décroissante
il y aura donc convergence (n" 117 et 123) (').
Si À est plus grand que 1, le rapport (9) sera, à partir d'un certain rang, supérieur àç, et comme q est plus grand que 1 ; les. termes iront donc en augmentant, et il y aura divergence, puisque le terme général ne tendra pas vers zéro.
La règle précédente, attribuée à Dalembert, n'apprend
rien dans le cas où le rapport (9) a pour limite l'unité. La
série peut être alors soit convergente, soit divergente. Par
exemple, si l'on considère la série dont le terme général est
- et celle dont le terme général est — - on sait (n* lât) ]ue la
première est divergente et que la seconde est convergente; et, pourtant, dans les deux cas, le rapport (D) a l'unité pour limite.
Il importe toutefois de remarquer que, si le rapport (9) tend vers 1 en restant à partir d'un certain rang supérieur à 1, la série est divergente ; car les termes finissent par aller toujours en croissant.
1^8. Une série à termes positifs Wj, u.,, ..., n„. ..., est convergente si l'expression
vt (10)
tend, lorsque n croît indéfiniment, vers une limite X inférieur e à l'unité. Elle est divergente si ee rapport a une limite pliix grande que l'unité.
En effet, soit q un nombre pris à volonté entre 1 et >,.
Si A est moindre que 1 , l'expression (10) sera, à partir d'u n
(I) On voit que notre énonct- est pin» realrklif que la démo us (ration ; le raiionncmeat ne suppose ptts eu cfTet que le rapport (9) ait une limite ; il ne lui impose que la rondition de finir par reste inférieur à un nombre hxe moindre que l'unité. Mais l't'xtension qu'on peut ainsi donner à l'énoncé, et qui mérite d'être signalée au point de Tue théorique, n'a en râalité auciine importance prelique.
certain rang, inférieure kg; on aura donc
et il y aura convergence, puisque les termes seront, à partir d'un certain rang, inférieurs à ceux de la progression géométrique décroissante y, q^t q^ ..., ç'„, ...
Si A est plus grand que 1, l'expression (10) sera, à partir d'un certain rang supérieure à ç ; on aura donc w» > y", et par suite la série sera divergente, puisque, q étant supérieur à 1, son terme général w,» croîtra au lieu de tendre vers zéro.
Cette règle, attribuée à Cauchy, laisse comme celle de Dalembert un cas douteux, c'est celui où l'expression (10) a pour limite l'unité; toutefois on peut affirmer qu'il y a divergence, lorsque l'expression (10) tend vers 1 en restant à partir d'un certain rang supérieure à 1 .
