Exemples
1* Soit la série
où X représente un nombre positif. On a
Un n -\- 1
et par suite
lim -^^^ = œ ;
la série est donc convergente si ^ est > 1, et divergente si X est < 1. On sait d'ailleurs qu'elle est encore divergente pour x= 1, puisqu'elle se réduit alors à la série harmonique.
2** Soit la série
Il -L. 4
, Le rapport -^^^ a ici pour valeur alternativement 2 et ^;
il n'a donc pas de limite déterminée, et la règle de Dalembert n'est pas appHcable. Mais, pour Vl^, on trouve
et
y 2^ = 2 ^^ " ^®^ impair,
"""VT i V i^'^'m' si n est pair;
on a donc bien y/u^ = -» et, par suite, en vertu de la règle de Cauchy, la série est convergente.
130. L'exemple qui précède montre que l'expression Vw^, peut avoir, pour n = oc , une limite déterminée, sans qu'il
en soit de même du rapport -^^'
Mais la réciproque n'est pas vraie. Si le rapport
Un
a une limite déterminée X, pour ;2 = oo , l'expression Vw» aura aussi une limite déterminée, et cette limite sera précisément égale à X.
En effet, d'après l'hypothèse, le raport — ^^ reste, à partir
Ifn
d'une certaine valeur de /i, compris entre X — s et X + s, £ étant un nombre positif aussi petit qu'on veut. On peut même supposer cette valeur de n égale à l'unité (cela revient à supprimer en tête de la série un nombre fini de termes). On aura donc
d'où en multipliant
(X - e)« < î^ < X + e)«, OU
nr
ce qui montre que \'iin a pour limite X, puisque yw, tend vers l'unité.
Règle de Kummer
131. La règle de Dalembert n'est qu'un cas très particulier d'une proposition due à Kummer et fertile en conséquences relativement à la convergence des séries. Voici cette proposition:
Soit a„ 7ine fonction positive de n. La série à termes positifs W|, w.), ...1 Wn» •••? ^^^ convergente^ si Fexpj'ession
^n—^ — au + i (*^)
a. pour n = 00 , une limite positive X. Elle est divergente^ si
Fea^pression (H) a une limite négative et si, de plus, la série
qui a pour terme général — est divergente.
En effet, soit g un nombre choisi à volonté entre o et X. L'expression (11) sera, à partir d'une certaine valeur jo de n, supérieure à g, et Ton aura
o n en déduit par addition
Sn — Sp < - {apUp — anUu),
et a fortiori
La somm e S„ reste donc, quand n croît indéfiniment, inférieure à une quantité fixe positive, et par suite (n" 123) la série est convergente.
Pour démontrer la seconde partie du théorème, il suffit d'observer que, si l'expression (H) a une limite négative, cette expression restera négative à partir d'une certaine valeur p de n, en sorte qu'on aura
UpUp < ùp^^Upj^^ < ... < a„u„\
d'où Ton déduit
Les termes de la série considérée sont donc, à partir d'un certain rang, supérieurs à ceux de la série
et comme cette série est supposée -divergente, la série proposée Test aussi.
I3ii. Le théorème de Kummer fournit une infinité de règles particulières, suivant le choix que l'on fait de la fonction positive «„. Nous nous bornerons à citer les plus intéressantes : ce sont celles où l'on prend pour a„ Tune des quantités
1, M, n logn;
dans chacun de ces cas, la série qui a pour terme général —
ES NUUËttIQUES 143
te, comme l'exige d'ailleurs la Je Kummer.
1° Pour rt„=i 1, l'expression (H) se réduit à
Or, dire que celte expression a une limite positive ou négative équivaut à dire que le rapport -~^ a une limite inférieure ou supérieure h l'unilé ; on retombe donc sur la règle de Dalembert.
3° Pour a„ = n, l'expression devient
ut l'on tombe sur une règle due à Duhamel. 3° Pour rt„ = n log n, l'expression (H) devient
" i"K» ■ {—) - (« + 1) i"fr(« + 1)- (13)
et l'on retrouve ainsi une règle due à M. Bertrand. Itt^Ie de fmaiiMs
ltf',1. Nous avons déjà fait observer que l'on ne pouvait rien affirmer sur la convergence ou la divergence d'une série
ù termes positifs, lorsque le rapport " — ■ avait l'unité pour
limite {sans finir par rester toujours supérieur à cette limite).
Gauss à donné pour lever ce di>ute une règle très simple, relative au cas où le rapport en question s'exprime par une fraction rationnelle de h. Ce cas, fréquent dans la pratique, est moins particulier qu'on serait tenté de le croire au
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premier abord, si l'on oubliait de remarquer qu'il n'est nullement question ici des valeurs de u„ et de «, + i, mais seulement de leur rapport.
Puisque le rapport a pour hypothèse l'unité pour limite, le numérateur et le dénominateur de la fraction rationnelle qui l'exprime doivent être des polynômes ayant môme degré et même premier terme ; et dès lors, en divisant haut et bas par le coefficient de ce premier terme, on voit que le raptport considéré doit être de la forme
Cela posé, voici l'énoncé du théorème de Gauss : Pour qu'une série telle que le rapport d'un terme au précédent ail la forme (14) xoit convergente, il faut et il suffit que la différence A — a soit plus grande gue /'unité.
l.'(-4. On peut mettre la relation (14) sous la forme
H étant une fonction de n qui reste finie lorsque » croit indéfiniment, et substituer à la règle de Gauss la suivante qui est un peu plus générale :
,S/ l'on ti
h désignant un noinhri- et H une fonction de n gui reste finie, la série à termes positifs !/,, ..., »„ .,,, est convergente lorsgue h est supérieur à l et divergente lorsque h est égal ou inférieur à 1.
La démonstration est une simple application des règles du numéro précédent.
En effet, d'abord, eu égard A la formule (i5), l'expression (12, n" 132) devient
rr^-
d'où l'on voit que cette expression a pour limite h — 1, et par suite (n° 133), que la série est convergente pour A > 1 et divergente pour A < 1 .
Supposons maintenant A = 1, auquel cas Texpression (15) devient
Un . , 1 , H
et par suite l'expression (13, n° 132) se réduit à
H '^ - >«« !(' + ÏÏ (' + ï)\ ■'
cette expression ayant pour limite — 1, la série proposée est divergente (n^* 133).
