n + l) 1 ^^ "" 2.4.6 ... (2n + 2) ' 2n -f 3' on a
u,. (2n + 4)(2n + Sl " "Ta "*"•*
CALCUL I!IFINlTfiSIXAL. 10
cette expression, comparée à (14), donne
et par suite A — a = -; la série proposée est donc conver-
gente (n« 133).
Série alternée
1 Îl6, Quand les termes d'une série sont alternativement positifs et négatifs, on dit que la série est alteumée.
Une série alternée est convergente si^ à partir d\in certain rang, chaque terme est inférieur en valeur absolue à celui qui le précède, et si le terme général u^ tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment.
En effet, faisons abstraction des termes qui précèdent le premier terme positif à partir duquel la loi se manifeste , et mettons les signes en évidence ; la série considérée sera alors représentée par '
"« — «2 + ^3 — "^ + ••• ±w«q= «/»+« î/j, W2, ..., étant des quantités positives, telles que Ton ait
et
limW;i = o pour n == 00.
Les relations évidentes
oîi les signes supérieurs se correspondant, ainsi que les signes inférieurs, montrent que les différences S„^j — S„, Pn+i — S„i ont des signes contraires, puisque w„ + , et
(f/rt — ?'« + i) sont, par hypothèse, positives. En d autres termes, les sommes successives 81,82, ..., 8,», ... sont telles que chacune d'elles est comprise entre les deux qui la précèdent immédiatement.
Représentons ces sommes par des longueurs
portées sur une môme droite, à partir d'un même point 0 et dans le même sens OX. (Nous laissons au lecteur le soin de faire la figure.) D'après ce qui vient d'être dit, A2 tombera entre 0 et Aj, A:^ tombera entre A, et A.^, A4 entre Ao et A3 ... et ainsi de suite. Les sommes de rang pair S., = 0A.„ 8/ = OA; ... iront donc en croissant et resteront moindres que Tune quelconque des sommes de rang impair; elles auront donc une limite L. De même les sommes de rang impair 81 = OAj, 8^ = OA3 ... iront en décroissant et resteront supérieures à Tune quelconque des sommes do rang pair; elles auront donc aussi une limite L'. Enlin les limites L et L' seront égales en vertu de la relation (IG), puisque par hypothèse m,,^i tend vers zéro. La série proposée est donc convergente et a pour somme la valeur commune 8 de L et de L'.
137. Il résulte de cette démonstration que toute somme de rang pair est une valeur approchée de S par défaut, tandis que toute s:)mme de rang impair est une valeur de 8 approchée par excès; d'ailleurs Teneur commise est toujours moindre que la valeur absolue du premier terme négligé, puisque l'addition de ce terme (pris avec son signe) change le sens de l'approximation.
13H. ExcAjpLK :
1" La série harmonique alternée
1 i+i 1+ +ti]:.
l CHAPITRE IX
convei^enle ; elle remplit en effet toutes les conditions >nc(îes au n" 130.
ï* La série alternée
au contraire divergente ; les valeurs absolues de ses mes vont, il est vrai, en décroissant ; mais le terme léral n'a pas zéro pour limite.
ries dont les termes ont des signes quelconques
