Pour qit'unp série soit convergentp^ il xuffit que les

iules de ses termes forment une série convergente.

ïn effet, désignons respectivement par S„ et S'„ la somme

n premiers termes dans la série proposée et dans la série

modules; soient en oulre P„ et — Q„ la somme des

nés positifs el celle des termes négatifs contenue dans S„.

aura

[17} S„ = P„ — Q„ et s; = P„ + Q,, (18}

'uisque la série des modules est convergente. S'„ tend s une limite L, quand n croit indéfiniment; et la relation \ montre que P„ et Q„. qui sont positifs et ne peuvent ier qu'en croissant lorsque n croit, restent l'un et l'autre (rieurs à L. Donc P„ et U„ ont des limites déterminées P Q, par suite, en vertu de la relalîon (17). S„ a pour ite P — Ui ce flU' prouve la convergence de la série posée.

,a condition précédente esl suffisanle, mais elle ii'est pns essaire. Par exemple, la série harmonique alternée est vergente (n» 138, 1"), tandis que la série des modules, qui il autre que la série harmonique ordinaire, est diverte {n° H8).

In est ainsi conduit à diviser les séries com-ergentex en

deux classes : celles qu'on nomme absolument convergentes et pour lesquelles la série des modules est convergente, et celles qu'on nomme semi-convergentes et pour lesquelles la série des modules est divergente.

140, Le simple rapprochement du numéro qui précède et du no 123 montre qu'wwe série est absolument convergente 5t, à partir d'un certain rang^ les modules de ses termes sont respectivement moindres que les modules des termes (Fune autre série absolument convergente.

Il résulte de là que, si une série

Uà , ^2) * * * 1 ^

/if

est absolument convergente^ il en est de même de la série

OÙ «1, rto, ..., a„, ... désignent des quantités ayant des signes quelconques mais des modules inférieurs à tm nombre positif donné A. En effet, on a

et, par suite, les modules des termes de la seconde série sont inférieurs aux modules des termes de la deuxième multipliés par A.