Si une série

u^y «2, ... Wrt, ... (19)

est absolument convergente^ elle reste convergente et conserve sa somme S, lorsqu'on modifie arbitrairement l'ordre des termes.

En effet, par hypothèse, la série des modules

est convergente ; par suite la somme

qui est le reste R„ de la série des modules, tend vers zéro quand u croît indéfiniment, et il en est a fortiori de môme de la somme

I wa I + i wp h ..• + 1 "x I , m

formée par un certain nombre de termes de (21).

Cela posé, soit S'„' la somme des n premiers termes de la série qui résulte de la proposée (11)) par le changement de Tordre des termes. Quelque grand que soit n, on peut prendre n assez grand pour que S',, contienne tous les termes de

S« -~ u^ -h Wa + ... + M„.

La différence SV — Sn ne contiendra donc que des termes

dont Tindice est supérieur à n; la valeur absolue | S'„ — S„ j de cette différence est donc moindre que la somme (22) ; elle tend donc vers zéro quand n^ et par suite n\ croissent indéfiniment. Mais alors S„ tend vers S; donc enfin SV a pour limite S.

142, Lorsqu'une série» est semi-convergente, on ne saurait changer Tordre des termes sans courir le risque d'altérer la somme de la série ou même de lui faire perdre sa convergence. C'est Dirichlet qui a le premier attiré Tattention sur ces faits, que deux exemples suffiront à mettre en évidence.

Soit la série

que Ton sait (n*"' 138 et H8) être convergente.

Considérons la série

('-i-:)+(i-5-i)+a-fo-s)+-- <"t

que Ton déduit de la précédente en faisant suivre d'abord le premier terme positif des deux premiers termes négatifs, puis le second terme positif du troisième et du quatrième termes négatifs, et ainsi de suite.

Nous allons montrer que la série (24) est convergente, mais que sa somme est égale à la moitié de la somme S de la série primitive (23).

En effet, en réduisant à un seul terme les deux premiers termes de chaque trinôme entre parenthèses, la série (24) devient

\2 ~ 4) + V6 "" s) + \ÏÔ "" 12) +■ •••' ou

c'est-à-dire la série primitive (23), dont on a multiplié chaque terme par - •

C'est là un exemple du cas où le changement d'ordre des termes altère la somme sans faire perdre à la série sa convergence.

Pour avoir un exemple du cas où le changement d'ordre des termes rend la série divergente, nous considérerons la série semi-convergente (n^' 124 et 136) :

En disposant ses termes de la manière suivante :