Si les deux séries

sont convergentes et ont pour sommes respectives u et v ; si de plus l'une d'elles au moins {la première par exemple) est absolument convergente^ la série

Wq, ^o^^ ..., îOn, ..., (27)

qui a pour terme général

w?/» = ^ii^n + u^Vn^^ + ... + u^v^y (28)

est convergente et a pour somme le produit uv.

En effet, désignons respectivement par U„, V„, W„ la somme des {n -\- l) premiers termes dans chacune des trois séries considérées. La différence

développée et ordonnée suivant les indices de la lettre m, a pour expression

S =«0(^/1 + 1 + ••• + ^2n) + W«+< (Vo+ ... + î?/i-|) + ^< i^n + i + ... + V^n-i) + W/, + a (^0 + ••• + ^/i-i)

Nous avons placé les divers termes sur deux colonnes dont Tune contient les termes en 2/q, Wj, ..., i<„i et Fautre les termes en î/„+i, ..., ?/i«; le terme en Un a disparu.

On a, d'après cela, en considérant les modules

on forme une nouvelle série dont le terme général

est plus grand que la quantité positive

y/ in >Jin \/2n

ou

"1 et a fortiori plus grand que le terme général - de la série

harmonique ; la nouvelle série est donc divergente.

Addition et multiplication des séries